कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = e^{2 x} + 1$

चरण 1

$f (x) = e^{2 x} + 1$ को एक समीकरण के रूप में लिखें.

$y = e^{2 x} + 1$

चरण 2

चर को एकदूसरे के साथ बदलें.

$x = e^{2 y} + 1$

चरण 3

$y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समीकरण को $e^{2 y} + 1 = x$ के रूप में फिर से लिखें.

$e^{2 y} + 1 = x$

चरण 3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$e^{2 y} = x - 1$

चरण 3.3

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (x - 1)$

चरण 3.4

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$2 y$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{2 y})$ का प्रसार करें.

$2 y \ln (e) = \ln (x - 1)$

चरण 3.4.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$2 y \cdot 1 = \ln (x - 1)$

चरण 3.4.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 y = \ln (x - 1)$

चरण 3.5

$2 y = \ln (x - 1)$ के प्रत्येक पद को $2$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$2 y = \ln (x - 1)$ के प्रत्येक पद को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x - 1)}{2}$

चरण 3.5.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (x - 1)}{2}$

चरण 3.5.2.1.2

$y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y = \frac{\ln (x - 1)}{2}$

चरण 4

अंतिम उत्तर दिखाने के लिए $y$ को $f^{- 1} (x)$ से बदलें.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 1)}{2}$

चरण 5

सत्यापित करें कि क्या $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 1)}{2}$ , $f (x) = e^{2 x} + 1$ का व्युत्क्रम है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

व्युत्क्रम सत्यापित करने के लिए, जांचें कि क्या $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

चरण 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f^{- 1} (f (x))$

चरण 5.2.2

$f^{- 1}$ में $f$ का मान प्रतिस्थापित करके $f^{- 1} (e^{2 x} + 1)$ का मान ज्ञात करें.

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \frac{\ln ((e^{2 x} + 1) - 1)}{2}$

चरण 5.2.3

$\frac{1}{2}$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $\frac{1}{2} \ln (e^{2 x} + 1 - 1)$ को सरल करें.

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + 1 - 1)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 5.2.4

$e^{2 x} + 1 - 1$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.4.1

$1$ में से $1$ घटाएं.

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x} + 0)}^{\frac{1}{2}})$

चरण 5.2.4.2

$e^{2 x}$ और $0$ जोड़ें.

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln ({(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}})$

चरण 5.2.5

घातांक को ${(e^{2 x})}^{\frac{1}{2}}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.5.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

चरण 5.2.5.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.5.2.1

$2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 (x) (\frac{1}{2})})$

चरण 5.2.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln (e^{2 x (\frac{1}{2})})$

चरण 5.2.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = \ln (e^{x})$

चरण 5.2.6

$x$ को घातांक से बाहर निकालने के लिए लघुगणक नियमों का प्रयोग करें.

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = x \ln (e)$

चरण 5.2.7

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = x \cdot 1$

चरण 5.2.8

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$f^{- 1} (e^{2 x} + 1) = x$

चरण 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

समग्र परिणाम फलन सेट करें.

$f (f^{- 1} (x))$

चरण 5.3.2

$f$ में $f^{- 1}$ का मान प्रतिस्थापित करके $f (\frac{\ln (x - 1)}{2})$ का मान ज्ञात करें.

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x - 1)}{2})} + 1$

चरण 5.3.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = e^{2 (\frac{\ln (x - 1)}{2})} + 1$

चरण 5.3.3.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = e^{\ln (x - 1)} + 1$

चरण 5.3.3.2

चरघातांक और लघुगणक व्युत्क्रम फलन होते हैं

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = x - 1 + 1$

चरण 5.3.4

$x - 1 + 1$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.1

$- 1$ और $1$ जोड़ें.

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = x + 0$

चरण 5.3.4.2

$x$ और $0$ जोड़ें.

$f (\frac{\ln (x - 1)}{2}) = x$

चरण 5.4

चूँकि $f^{- 1} (f (x)) = x$ और $f (f^{- 1} (x)) = x$ , तो $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 1)}{2}$ , $f (x) = e^{2 x} + 1$ का व्युत्क्रम है.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x - 1)}{2}$