कैलकुलस उदाहरण

$f (t) = \frac{t}{3 - t} + 5 t^{3}$

चरण 1

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $\frac{t}{3 - t} + 5 t^{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [\frac{t}{3 - t}] + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$ है.

$\frac{d}{d t} [\frac{t}{3 - t}] + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

चरण 2

$\frac{d}{d t} [\frac{t}{3 - t}]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 2.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ है, जहाँ $f (t) = t$ और $g (t) = 3 - t$ है.

$\frac{(3 - t) \frac{d}{d t} [t] - t \frac{d}{d t} [3 - t]}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(3 - t) \cdot 1 - t \frac{d}{d t} [3 - t]}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

चरण 2.3

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $3 - t$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [- t]$ है.

$\frac{(3 - t) \cdot 1 - t (\frac{d}{d t} [3] + \frac{d}{d t} [- t])}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

चरण 2.4

चूंकि $t$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(3 - t) \cdot 1 - t (0 + \frac{d}{d t} [- t])}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

चरण 2.5

चूंकि $- 1$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $- t$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d t} [t]$ है.

$\frac{(3 - t) \cdot 1 - t (0 - \frac{d}{d t} [t])}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

चरण 2.6

$\frac{(3 - t) \cdot 1 - t (0 - 1 \cdot 1)}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

चरण 2.7

$3 - t$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{3 - t - t (0 - 1 \cdot 1)}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

चरण 2.8

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{3 - t - t (0 - 1)}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

चरण 2.9

$0$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{3 - t - t \cdot - 1}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

चरण 2.10

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{3 - t + 1 t}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

चरण 2.11

$t$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{3 - t + t}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

चरण 2.12

$- t$ और $t$ जोड़ें.

$\frac{3 + 0}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

चरण 2.13

$3$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{3}{{(3 - t)}^{2}} + \frac{d}{d t} [5 t^{3}]$

चरण 3

$\frac{d}{d t} [5 t^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

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चरण 3.1

चूंकि $5$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $5 t^{3}$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d t} [t^{3}]$ है.

$\frac{3}{{(3 - t)}^{2}} + 5 \frac{d}{d t} [t^{3}]$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\frac{3}{{(3 - t)}^{2}} + 5 (3 t^{2})$

चरण 3.3

$3$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{3}{{(3 - t)}^{2}} + 15 t^{2}$

चरण 4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$15 t^{2} + \frac{3}{{(3 - t)}^{2}}$