कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = (x^{3} + 2 x) e^{x}$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{3} + 2 x$ और $g (x) = e^{x}$ है.

$(x^{3} + 2 x) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x]$

चरण 2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$(x^{3} + 2 x) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3} + 2 x]$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3} + 2 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ है.

$(x^{3} + 2 x) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$(x^{3} + 2 x) e^{x} + e^{x} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x])$

चरण 3.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$(x^{3} + 2 x) e^{x} + e^{x} (3 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$(x^{3} + 2 x) e^{x} + e^{x} (3 x^{2} + 2 \cdot 1)$

चरण 3.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$(x^{3} + 2 x) e^{x} + e^{x} (3 x^{2} + 2)$

चरण 4

सरल करें.

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चरण 4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{3} e^{x} + 2 x e^{x} + e^{x} (3 x^{2} + 2)$

चरण 4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x^{3} e^{x} + 2 x e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + e^{x} \cdot 2$

चरण 4.3

$2$ को $e^{x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x^{3} e^{x} + 2 x e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 2 e^{x}$

चरण 4.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$e^{x} x^{3} + 2 e^{x} x + 3 e^{x} x^{2} + 2 e^{x}$