कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = (3 x^{2} - 2 x + 5) (4 x^{2} + 3 x - 1)$

चरण 1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = 3 x^{2} - 2 x + 5$ और $g (x) = 4 x^{2} + 3 x - 1$ है.

$(3 x^{2} - 2 x + 5) \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 3 x - 1] + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

चरण 2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $4 x^{2} + 3 x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

चरण 2.2

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x^{2}$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

चरण 2.4

$2$ को $4$ से गुणा करें.

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

चरण 2.5

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

चरण 2.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

चरण 2.7

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

चरण 2.8

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3 + 0) + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

चरण 2.9

$8 x + 3$ और $0$ जोड़ें.

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 2 x + 5]$

चरण 2.10

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x^{2} - 2 x + 5$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ है.

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5])$

चरण 2.11

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x^{2}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5])$

चरण 2.12

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5])$

चरण 2.13

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [5])$

चरण 2.14

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 x$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])$

चरण 2.15

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])$

चरण 2.16

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2 + \frac{d}{d x} [5])$

चरण 2.17

चूंकि $x$ के संबंध में $5$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $5$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2 + 0)$

चरण 2.18

$6 x - 2$ और $0$ जोड़ें.

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$ में से $1$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3)$ में से $1$ का गुणनखंड करें.

$1 ((3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3)) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

चरण 3.1.2

$(4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$ में से $1$ का गुणनखंड करें.

$1 ((3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3)) + 1 ((4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2))$

चरण 3.1.3

$1 ((3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3)) + 1 ((4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2))$ में से $1$ का गुणनखंड करें.

$1 ((3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2))$

चरण 3.2

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$ को $1$ से गुणा करें.

$(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3) + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

चरण 3.3

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

प्रथम व्यंजक के प्रत्येक पद को द्वितीय व्यंजक के प्रत्येक पद से गुणा करके $(3 x^{2} - 2 x + 5) (8 x + 3)$ का प्रसार करें.

$3 x^{2} (8 x) + 3 x^{2} \cdot 3 - 2 x (8 x) - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

चरण 3.3.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$3 \cdot 8 x^{2} x + 3 x^{2} \cdot 3 - 2 x (8 x) - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

चरण 3.3.2.2

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.2.1

$x$ ले जाएं.

$3 \cdot 8 (x \cdot x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 3 - 2 x (8 x) - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

चरण 3.3.2.2.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.2.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$3 \cdot 8 (x^{1} x^{2}) + 3 x^{2} \cdot 3 - 2 x (8 x) - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

चरण 3.3.2.2.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$3 \cdot 8 x^{1 + 2} + 3 x^{2} \cdot 3 - 2 x (8 x) - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

चरण 3.3.2.2.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$3 \cdot 8 x^{3} + 3 x^{2} \cdot 3 - 2 x (8 x) - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

चरण 3.3.2.3

$3$ को $8$ से गुणा करें.

$24 x^{3} + 3 x^{2} \cdot 3 - 2 x (8 x) - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

चरण 3.3.2.4

$3$ को $3$ से गुणा करें.

$24 x^{3} + 9 x^{2} - 2 x (8 x) - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

चरण 3.3.2.5

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$24 x^{3} + 9 x^{2} - 2 \cdot 8 x \cdot x - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

चरण 3.3.2.6

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.6.1

$x$ ले जाएं.

$24 x^{3} + 9 x^{2} - 2 \cdot 8 (x \cdot x) - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

चरण 3.3.2.6.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$24 x^{3} + 9 x^{2} - 2 \cdot 8 x^{2} - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

चरण 3.3.2.7

$- 2$ को $8$ से गुणा करें.

$24 x^{3} + 9 x^{2} - 16 x^{2} - 2 x \cdot 3 + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

चरण 3.3.2.8

$3$ को $- 2$ से गुणा करें.

$24 x^{3} + 9 x^{2} - 16 x^{2} - 6 x + 5 (8 x) + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

चरण 3.3.2.9

$8$ को $5$ से गुणा करें.

$24 x^{3} + 9 x^{2} - 16 x^{2} - 6 x + 40 x + 5 \cdot 3 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

चरण 3.3.2.10

$5$ को $3$ से गुणा करें.

$24 x^{3} + 9 x^{2} - 16 x^{2} - 6 x + 40 x + 15 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

चरण 3.3.3

$9 x^{2}$ में से $16 x^{2}$ घटाएं.

$24 x^{3} - 7 x^{2} - 6 x + 40 x + 15 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

चरण 3.3.4

$- 6 x$ और $40 x$ जोड़ें.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + (4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$

चरण 3.3.5

प्रथम व्यंजक के प्रत्येक पद को द्वितीय व्यंजक के प्रत्येक पद से गुणा करके $(4 x^{2} + 3 x - 1) (6 x - 2)$ का प्रसार करें.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 4 x^{2} (6 x) + 4 x^{2} \cdot - 2 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

चरण 3.3.6

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.6.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 4 \cdot 6 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot - 2 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

चरण 3.3.6.2

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.6.2.1

$x$ ले जाएं.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 4 \cdot 6 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 2 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

चरण 3.3.6.2.2

$x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.6.2.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 4 \cdot 6 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 2 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

चरण 3.3.6.2.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 4 \cdot 6 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 2 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

चरण 3.3.6.2.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 4 \cdot 6 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 2 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

चरण 3.3.6.3

$4$ को $6$ से गुणा करें.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 2 + 3 x (6 x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

चरण 3.3.6.4

$- 2$ को $4$ से गुणा करें.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} - 8 x^{2} + 3 x (6 x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

चरण 3.3.6.5

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} - 8 x^{2} + 3 \cdot 6 x \cdot x + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

चरण 3.3.6.6

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.6.6.1

$x$ ले जाएं.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} - 8 x^{2} + 3 \cdot 6 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

चरण 3.3.6.6.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} - 8 x^{2} + 3 \cdot 6 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

चरण 3.3.6.7

$3$ को $6$ से गुणा करें.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} - 8 x^{2} + 18 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

चरण 3.3.6.8

$- 2$ को $3$ से गुणा करें.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} - 8 x^{2} + 18 x^{2} - 6 x - 1 (6 x) - 1 \cdot - 2$

चरण 3.3.6.9

$6$ को $- 1$ से गुणा करें.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} - 8 x^{2} + 18 x^{2} - 6 x - 6 x - 1 \cdot - 2$

चरण 3.3.6.10

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} - 8 x^{2} + 18 x^{2} - 6 x - 6 x + 2$

चरण 3.3.7

$- 8 x^{2}$ और $18 x^{2}$ जोड़ें.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} + 10 x^{2} - 6 x - 6 x + 2$

चरण 3.3.8

$- 6 x$ में से $6 x$ घटाएं.

$24 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 24 x^{3} + 10 x^{2} - 12 x + 2$

चरण 3.4

$24 x^{3}$ और $24 x^{3}$ जोड़ें.

$48 x^{3} - 7 x^{2} + 34 x + 15 + 10 x^{2} - 12 x + 2$

चरण 3.5

$- 7 x^{2}$ और $10 x^{2}$ जोड़ें.

$48 x^{3} + 3 x^{2} + 34 x + 15 - 12 x + 2$

चरण 3.6

$34 x$ में से $12 x$ घटाएं.

$48 x^{3} + 3 x^{2} + 22 x + 15 + 2$

चरण 3.7

$15$ और $2$ जोड़ें.

$48 x^{3} + 3 x^{2} + 22 x + 17$