कैलकुलस उदाहरण

$f (t) = {(t + 5)}^{2} e^{4 t}$

चरण 1

${(t + 5)}^{2}$ को $(t + 5) (t + 5)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d t} [(t + 5) (t + 5) e^{4 t}]$

चरण 2

FOIL विधि का उपयोग करके $(t + 5) (t + 5)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d t} [(t (t + 5) + 5 (t + 5)) e^{4 t}]$

चरण 2.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d t} [(t \cdot t + t \cdot 5 + 5 (t + 5)) e^{4 t}]$

चरण 2.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{d}{d t} [(t \cdot t + t \cdot 5 + 5 t + 5 \cdot 5) e^{4 t}]$

चरण 3

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

$t$ को $t$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d t} [(t^{2} + t \cdot 5 + 5 t + 5 \cdot 5) e^{4 t}]$

चरण 3.1.2

$5$ को $t$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{d}{d t} [(t^{2} + 5 \cdot t + 5 t + 5 \cdot 5) e^{4 t}]$

चरण 3.1.3

$5$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d t} [(t^{2} + 5 t + 5 t + 25) e^{4 t}]$

चरण 3.2

$5 t$ और $5 t$ जोड़ें.

$\frac{d}{d t} [(t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t}]$

चरण 4

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ है, जहाँ $f (t) = t^{2} + 10 t + 25$ और $g (t) = e^{4 t}$ है.

$(t^{2} + 10 t + 25) \frac{d}{d t} [e^{4 t}] + e^{4 t} \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]$

चरण 5

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = e^{t}$ और $g (t) = 4 t$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $4 t$ के रूप में सेट करें.

$(t^{2} + 10 t + 25) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [4 t]) + e^{4 t} \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]$

चरण 5.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$(t^{2} + 10 t + 25) (e^{u} \frac{d}{d t} [4 t]) + e^{4 t} \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]$

चरण 5.3

$u$ की सभी घटनाओं को $4 t$ से बदलें.

$(t^{2} + 10 t + 25) (e^{4 t} \frac{d}{d t} [4 t]) + e^{4 t} \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]$

चरण 6

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

चूंकि $4$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $4 t$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$(t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t} (4 \frac{d}{d t} [t]) + e^{4 t} \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]$

चरण 6.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$(t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t} (4 \cdot 1) + e^{4 t} \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]$

चरण 6.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.3.1

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$(t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t} \cdot 4 + e^{4 t} \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]$

चरण 6.3.2

$4$ को $(t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$4 \cdot ((t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t}) + e^{4 t} \frac{d}{d t} [t^{2} + 10 t + 25]$

चरण 6.4

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $t^{2} + 10 t + 25$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t] + \frac{d}{d t} [25]$ है.

$4 (t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t} + e^{4 t} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [10 t] + \frac{d}{d t} [25])$

चरण 6.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$4 (t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t} + e^{4 t} (2 t + \frac{d}{d t} [10 t] + \frac{d}{d t} [25])$

चरण 6.6

चूंकि $10$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $10 t$ का व्युत्पन्न $10 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$4 (t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t} + e^{4 t} (2 t + 10 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [25])$

चरण 6.7

$4 (t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t} + e^{4 t} (2 t + 10 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [25])$

चरण 6.8

$10$ को $1$ से गुणा करें.

$4 (t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t} + e^{4 t} (2 t + 10 + \frac{d}{d t} [25])$

चरण 6.9

चूंकि $t$ के संबंध में $25$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $25$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$4 (t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t} + e^{4 t} (2 t + 10 + 0)$

चरण 6.10

$2 t + 10$ और $0$ जोड़ें.

$4 (t^{2} + 10 t + 25) e^{4 t} + e^{4 t} (2 t + 10)$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(4 t^{2} + 4 (10 t) + 4 \cdot 25) e^{4 t} + e^{4 t} (2 t + 10)$

चरण 7.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 t^{2} e^{4 t} + 4 (10 t) e^{4 t} + 4 \cdot 25 e^{4 t} + e^{4 t} (2 t + 10)$

चरण 7.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$4 t^{2} e^{4 t} + 4 (10 t) e^{4 t} + 4 \cdot 25 e^{4 t} + e^{4 t} (2 t) + e^{4 t} \cdot 10$

चरण 7.4

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.1

$10$ को $4$ से गुणा करें.

$4 t^{2} e^{4 t} + 40 t e^{4 t} + 4 \cdot 25 e^{4 t} + e^{4 t} (2 t) + e^{4 t} \cdot 10$

चरण 7.4.2

$4$ को $25$ से गुणा करें.

$4 t^{2} e^{4 t} + 40 t e^{4 t} + 100 e^{4 t} + e^{4 t} (2 t) + e^{4 t} \cdot 10$

चरण 7.4.3

$10$ को $e^{4 t}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$4 t^{2} e^{4 t} + 40 t e^{4 t} + 100 e^{4 t} + e^{4 t} (2 t) + 10 \cdot e^{4 t}$

चरण 7.4.4

$40 t e^{4 t}$ और $e^{4 t} (2 t)$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.4.4.1

$e^{4 t}$ ले जाएं.

$4 t^{2} e^{4 t} + 40 t e^{4 t} + 2 t e^{4 t} + 100 e^{4 t} + 10 e^{4 t}$

चरण 7.4.4.2

$40 t e^{4 t}$ और $2 t e^{4 t}$ जोड़ें.

$4 t^{2} e^{4 t} + 42 t e^{4 t} + 100 e^{4 t} + 10 e^{4 t}$

चरण 7.4.5

$100 e^{4 t}$ और $10 e^{4 t}$ जोड़ें.

$4 t^{2} e^{4 t} + 42 t e^{4 t} + 110 e^{4 t}$

चरण 7.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$4 e^{4 t} t^{2} + 42 e^{4 t} t + 110 e^{4 t}$

चरण 7.6

गुणनखंडों को $4 e^{4 t} t^{2} + 42 e^{4 t} t + 110 e^{4 t}$ में पुन: क्रमित करें.

$4 t^{2} e^{4 t} + 42 t e^{4 t} + 110 e^{4 t}$