कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{x^{3} - 1}{x^{3} + 1}$

चरण 1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x^{3} - 1$ और $g (x) = x^{3} + 1$ है.

$\frac{(x^{3} + 1) \frac{d}{d x} [x^{3} - 1] - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

चरण 2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3} - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{(x^{3} + 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\frac{(x^{3} + 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

चरण 2.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(x^{3} + 1) (3 x^{2} + 0) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

चरण 2.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

$3 x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(x^{3} + 1) (3 x^{2}) - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

चरण 2.4.2

$3$ को $x^{3} + 1$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{3 \cdot (x^{3} + 1) x^{2} - (x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [x^{3} + 1]}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

चरण 2.5

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{3 (x^{3} + 1) x^{2} - (x^{3} - 1) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

चरण 2.6

$\frac{3 (x^{3} + 1) x^{2} - (x^{3} - 1) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

चरण 2.7

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{3 (x^{3} + 1) x^{2} - (x^{3} - 1) (3 x^{2} + 0)}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

चरण 2.8

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.1

$3 x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{3 (x^{3} + 1) x^{2} - (x^{3} - 1) (3 x^{2})}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

चरण 2.8.2

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{3 (x^{3} + 1) x^{2} - 3 (x^{3} - 1) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(3 x^{3} + 3 \cdot 1) x^{2} - 3 (x^{3} - 1) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

चरण 3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3 x^{3} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} - 3 (x^{3} - 1) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

चरण 3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3 x^{3} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} + (- 3 x^{3} - 3 \cdot - 1) x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

चरण 3.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3 x^{3} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} - 3 x^{3} x^{2} - 3 \cdot - 1 x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

चरण 3.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$3 x^{3} x^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} - 3 x^{3} x^{2} - 3 \cdot - 1 x^{2}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1.1

$3 x^{3} x^{2}$ में से $3 x^{3} x^{2}$ घटाएं.

$\frac{3 \cdot 1 x^{2} + 0 - 3 \cdot - 1 x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

चरण 3.5.1.2

$3 \cdot 1 x^{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{3 \cdot 1 x^{2} - 3 \cdot - 1 x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

चरण 3.5.2

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.2.1

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{3 x^{2} - 3 \cdot - 1 x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

चरण 3.5.2.2

$- 3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{3 x^{2} + 3 x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

चरण 3.5.3

$3 x^{2}$ और $3 x^{2}$ जोड़ें.

$\frac{6 x^{2}}{{(x^{3} + 1)}^{2}}$

चरण 3.6

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

$1$ को $1^{3}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{6 x^{2}}{{(x^{3} + 1^{3})}^{2}}$

चरण 3.6.2

चूंकि दोनों पद पूर्ण घन हैं, घन सूत्र के योग का उपयोग करके गुणनखंड करें, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ जहाँ $a = x$ और $b = 1$ .

$\frac{6 x^{2}}{{((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2}))}^{2}}$

चरण 3.6.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.3.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{6 x^{2}}{{((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2}))}^{2}}$

चरण 3.6.3.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{6 x^{2}}{{((x + 1) (x^{2} - x + 1))}^{2}}$

चरण 3.6.4

उत्पाद नियम को $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ पर लागू करें.

$\frac{6 x^{2}}{{(x + 1)}^{2} {(x^{2} - x + 1)}^{2}}$