कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = {(x - 2 e^{- 3 x})}^{2}$

चरण 1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = x - 2 e^{- 3 x}$ है.

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चरण 1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $x - 2 e^{- 3 x}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x - 2 e^{- 3 x}]$

चरण 1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [x - 2 e^{- 3 x}]$

चरण 1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x - 2 e^{- 3 x}$ से बदलें.

$2 (x - 2 e^{- 3 x}) \frac{d}{d x} [x - 2 e^{- 3 x}]$

चरण 2

अवकलन करें.

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चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 2 e^{- 3 x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- 3 x}]$ है.

$2 (x - 2 e^{- 3 x}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- 3 x}])$

चरण 2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 (x - 2 e^{- 3 x}) (1 + \frac{d}{d x} [- 2 e^{- 3 x}])$

चरण 2.3

चूंकि $- 2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 2 e^{- 3 x}$ का व्युत्पन्न $- 2 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}]$ है.

$2 (x - 2 e^{- 3 x}) (1 - 2 \frac{d}{d x} [e^{- 3 x}])$

चरण 3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - 3 x$ है.

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चरण 3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $- 3 x$ के रूप में सेट करें.

$2 (x - 2 e^{- 3 x}) (1 - 2 (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- 3 x]))$

चरण 3.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$2 (x - 2 e^{- 3 x}) (1 - 2 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- 3 x]))$

चरण 3.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $- 3 x$ से बदलें.

$2 (x - 2 e^{- 3 x}) (1 - 2 (e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [- 3 x]))$

चरण 4

अवकलन करें.

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चरण 4.1

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3 x$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 (x - 2 e^{- 3 x}) (1 - 2 e^{- 3 x} (- 3 \frac{d}{d x} [x]))$

चरण 4.2

$- 3$ को $- 2$ से गुणा करें.

$2 (x - 2 e^{- 3 x}) (1 + 6 e^{- 3 x} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.3

$2 (x - 2 e^{- 3 x}) (1 + 6 e^{- 3 x} \cdot 1)$

चरण 4.4

$6$ को $1$ से गुणा करें.

$2 (x - 2 e^{- 3 x}) (1 + 6 e^{- 3 x})$

चरण 5

सरल करें.

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चरण 5.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(2 x + 2 (- 2 e^{- 3 x})) (1 + 6 e^{- 3 x})$

चरण 5.2

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$(2 x - 4 e^{- 3 x}) (1 + 6 e^{- 3 x})$

चरण 5.3

$(2 x - 4 e^{- 3 x}) (1 + 6 e^{- 3 x})$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(1 + 6 e^{- 3 x}) (2 x - 4 e^{- 3 x})$