कैलकुलस उदाहरण

$f (x) = \frac{\sin (x)}{2 - \cos (x)}$

चरण 1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 2 - \cos (x)$ है.

$\frac{(2 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] - \sin (x) \frac{d}{d x} [2 - \cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

चरण 2

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [2 - \cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 - \cos (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ है.

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

चरण 3.2

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

चरण 3.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ जोड़ें.

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

चरण 3.4

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ है.

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - \sin (x) (- \frac{d}{d x} [\cos (x)])}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

चरण 3.5

गुणा करें.

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चरण 3.5.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) + 1 \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

चरण 3.5.2

$\sin (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

चरण 4

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

चरण 5

$\sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

चरण 6

$\sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

चरण 7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

चरण 8

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{(2 - \cos (x)) \cos (x) - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 \cos (x) - \cos (x) \cos (x) - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

चरण 9.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1

$- \cos (x) \cos (x)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.2.1.1

$\cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x)) - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

चरण 9.2.1.2

$\cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 \cos (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

चरण 9.2.1.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 \cos (x) - {\cos (x)}^{1 + 1} - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

चरण 9.2.1.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{2 \cos (x) - \cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

चरण 9.2.2

$- \cos^{2} (x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cos (x) - (\cos^{2} (x)) - \sin^{2} (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

चरण 9.2.3

$- \sin^{2} (x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cos (x) - (\cos^{2} (x)) - (\sin^{2} (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

चरण 9.2.4

$- (\cos^{2} (x)) - (\sin^{2} (x))$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 \cos (x) - (\cos^{2} (x) + \sin^{2} (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

चरण 9.2.5

पदों को पुनर्व्यवस्थित करें.

$\frac{2 \cos (x) - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

चरण 9.2.6

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\frac{2 \cos (x) - 1 \cdot 1}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

चरण 9.2.7

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 \cos (x) - 1}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

चरण 9.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{- 1 + 2 \cos (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

चरण 9.4

$- 1$ को $- 1 (1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- 1 (1) + 2 \cos (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

चरण 9.5

$2 \cos (x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 1 (1) - (- 2 \cos (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

चरण 9.6

$- 1 (1) - (- 2 \cos (x))$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- 1 (1 - 2 \cos (x))}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$

चरण 9.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1 - 2 \cos (x)}{{(2 - \cos (x))}^{2}}$