कैलकुलस उदाहरण

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 80$

चरण 1

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 80$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

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चरण 1.1

$4 x^{3}$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$4 (x^{3}) - 36 x^{2} + 96 x - 80$

चरण 1.2

$- 36 x^{2}$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 96 x - 80$

चरण 1.3

$96 x$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$4 (x^{3}) + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (24 x) - 80$

चरण 1.4

$- 80$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2}) + 4 (24 x) + 4 \cdot - 20$

चरण 1.5

$4 x^{3} + 4 (- 9 x^{2})$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (24 x) + 4 \cdot - 20$

चरण 1.6

$4 (x^{3} - 9 x^{2}) + 4 (24 x)$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 \cdot - 20$

चरण 1.7

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x) + 4 \cdot - 20$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$4 (x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 20)$

चरण 2

परिमेय मूल परीक्षण का उपयोग करते हुए गुणनखंड $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 20$ है.

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चरण 2.1

यदि एक बहुपद फलन में पूर्णांक गुणांक होते हैं, तो प्रत्येक परिमेय शून्य का रूप $\frac{p}{q}$ होगा, जहां $p$ स्थिरांक का एक गुणनखंड है और $q$ प्रमुख गुणांक का एक गुणनखंड है.

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

चरण 2.2

$\pm \frac{p}{q}$ का प्रत्येक संयोजन पता करें. ये बहुपद फलन के संभावित मूल हैं.

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

चरण 2.3

$2$ को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक को सरल करें. इस स्थिति में, व्यंजक $0$ के बराबर है, इसलिए $2$ बहुपद का मूल है.

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चरण 2.3.1

$2$ को बहुपद में प्रतिस्थापित करें.

$2^{3} - 9 \cdot 2^{2} + 24 \cdot 2 - 20$

चरण 2.3.2

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$8 - 9 \cdot 2^{2} + 24 \cdot 2 - 20$

चरण 2.3.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$8 - 9 \cdot 4 + 24 \cdot 2 - 20$

चरण 2.3.4

$- 9$ को $4$ से गुणा करें.

$8 - 36 + 24 \cdot 2 - 20$

चरण 2.3.5

$8$ में से $36$ घटाएं.

$- 28 + 24 \cdot 2 - 20$

चरण 2.3.6

$24$ को $2$ से गुणा करें.

$- 28 + 48 - 20$

चरण 2.3.7

$- 28$ और $48$ जोड़ें.

$20 - 20$

चरण 2.3.8

$20$ में से $20$ घटाएं.

$0$

चरण 2.4

चूँकि $2$ एक ज्ञात मूल है, बहुपद को $x - 2$ से भाग देकर भागफल बहुपद ज्ञात करें. इस बहुपद का उपयोग तब शेष मूलों को ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है.

$\frac{x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 20}{x - 2}$

चरण 2.5

$x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 20$ को $x - 2$ से विभाजित करें.

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चरण 2.5.1

बहुपदों को विभाजित करने के लिए सेट करें. यदि प्रत्येक घातांक के लिए कोई पद नहीं है, तो $0$ के मान वाला एक शब्द डालें.

$x$

$2$

$x^{3}$

$9 x^{2}$

$24 x$

$20$

चरण 2.5.2

भाज्य $x^{3}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

					$x^{2}$
	$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$

चरण 2.5.3

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

चरण 2.5.4

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $x^{3} - 2 x^{2}$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

चरण 2.5.5

संकेतों को बदलने के बाद, नया लाभांश खोजने के लिए गुणा बहुपद से अंतिम लाभांश जोड़ें.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$

चरण 2.5.6

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$

चरण 2.5.7

भाज्य $- 7 x^{2}$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$

चरण 2.5.8

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$
					-	$7 x^{2}$	+	$14 x$

चरण 2.5.9

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $- 7 x^{2} + 14 x$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$

चरण 2.5.10

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$10 x$

चरण 2.5.11

अगली पदों को मूल लाभांश से नीचे वर्तमान लाभांश में खींचें.

				$x^{2}$	-	$7 x$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$10 x$	-	$20$

चरण 2.5.12

भाज्य $10 x$ के उच्च क्रम के पद को विभाजक $x$ के उच्च क्रम वाले पद से विभाजित करें.

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$10 x$	-	$20$

चरण 2.5.13

भाजक से नए भागफल पद को गुणा करें.

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$10 x$	-	$20$
							+	$10 x$	-	$20$

चरण 2.5.14

व्यंजक को भाज्य से घटाने की आवश्यकता है, इसलिए $10 x - 20$ में सभी चिह्नों को प्रतिस्थापित करें

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$10 x$	-	$20$
							-	$10 x$	+	$20$

चरण 2.5.15

				$x^{2}$	-	$7 x$	+	$10$
$x$	-	$2$		$x^{3}$	-	$9 x^{2}$	+	$24 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$7 x^{2}$	+	$24 x$
					+	$7 x^{2}$	-	$14 x$
							+	$10 x$	-	$20$
							-	$10 x$	+	$20$
										$0$

चरण 2.5.16

चूंकि रिमांडर $0$ है, इसलिए अंतिम उत्तर भागफल है.

$x^{2} - 7 x + 10$

चरण 2.6

गुणनखंडों के एक सेट के रूप में $x^{3} - 9 x^{2} + 24 x - 20$ लिखें.

$4 ((x - 2) (x^{2} - 7 x + 10))$

चरण 3

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} - 7 x + 10$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

AC विधि का उपयोग करके $x^{2} - 7 x + 10$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1.1

$x^{2} + b x + c$ के स्वरूप पर विचार करें. पूर्णांकों का एक ऐसा युग्म ज्ञात कीजिए जिसका गुणनफल $c$ है और जिसका योग $b$ है और इस स्थिति में जिसका गुणनफल $10$ है और जिसका योग $- 7$ है.

$- 5, - 2$

चरण 3.1.1.2

इन पूर्णांकों का प्रयोग करते हुए गुणनखंड लिखें.

$4 ((x - 2) ((x - 5) (x - 2)))$

चरण 3.1.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$4 ((x - 2) (x - 5) (x - 2))$

चरण 3.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$4 (x - 2) (x - 5) (x - 2)$

चरण 4

प्रतिपादकों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

$x - 2$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 ({(x - 2)}^{1} (x - 2)) (x - 5)$

चरण 4.2

$x - 2$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$4 ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{1}) (x - 5)$

चरण 4.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$4 {(x - 2)}^{1 + 1} (x - 5)$

चरण 4.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$4 {(x - 2)}^{2} (x - 5)$