कैलकुलस उदाहरण

$3 x {(2 x + 3)}^{- 0.5}$

चरण 1

चूँकि $3$ बटे $x$ अचर है, $3$ को समाकलन से हटा दें.

$3 \int x {(2 x + 3)}^{- 0.5} d x$

चरण 2

मान लीजिए $u_{1} = 2 x + 3$ .फिर $d u_{1} = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

मान लें $u_{1} = 2 x + 3$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

$2 x + 3$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x + 3]$

चरण 2.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x + 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 2.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 2.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 2.1.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + \frac{d}{d x} [3]$

चरण 2.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 + 0$

चरण 2.1.4.2

$2$ और $0$ जोड़ें.

$2$

चरण 2.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$3 \int (\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}) {u_{1}}^{- 0.5} \frac{1}{2} d u_{1}$

चरण 3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\frac{1}{2}$ और ${u_{1}}^{- 0.5}$ को मिलाएं.

$3 \int (\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}) \frac{{u_{1}}^{- 0.5}}{2} d u_{1}$

चरण 3.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${u_{1}}^{- 0.5}$ को भाजक में ले जाएँ.

$3 \int (\frac{u_{1}}{2} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2 {u_{1}}^{0.5}} d u_{1}$

चरण 4

मान लीजिए $u_{2} = 2 {u_{1}}^{0.5}$ .फिर $d u_{2} = \frac{1}{{u_{1}}^{0.5}} d u_{1}$ , तो ${u_{1}}^{0.5} d u_{2} = d u_{1}$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

मान लें $u_{2} = 2 {u_{1}}^{0.5}$ . $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

$2 {u_{1}}^{0.5}$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [2 {u_{1}}^{0.5}]$

चरण 4.1.2

चूंकि $2$ , $u_{1}$ के संबंध में स्थिर है, $u_{1}$ के संबंध में $2 {u_{1}}^{0.5}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{0.5}]$ है.

$2 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{0.5}]$

चरण 4.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 0.5$ है.

$2 (0.5 {u_{1}}^{- 0.5})$

चरण 4.1.4

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.4.1

$0.5$ को $2$ से गुणा करें.

$1 {u_{1}}^{- 0.5}$

चरण 4.1.4.2

${u_{1}}^{- 0.5}$ को $1$ से गुणा करें.

${u_{1}}^{- 0.5}$

चरण 4.1.5

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{{u_{1}}^{0.5}}$

चरण 4.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$3 \int (\frac{\frac{{u_{2}}^{2}}{4}}{2} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

चरण 5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

एक गुणनफल के रूप में $\frac{\frac{{u_{2}}^{2}}{4}}{2}$ को फिर से लिखें.

$3 \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} \cdot \frac{1}{2} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

चरण 5.2

$\frac{{u_{2}}^{2}}{4}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$3 \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4 \cdot 2} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

चरण 5.3

$4$ को $2$ से गुणा करें.

$3 \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{8} - \frac{3}{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

चरण 6

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$3 (\frac{1}{2} \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 1 \cdot 3) \frac{1}{2} d u_{2})$

चरण 7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

$- 1$ को $3$ से गुणा करें.

$3 (\frac{1}{2} \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3) \frac{1}{2} d u_{2})$

चरण 7.2

$\frac{1}{2}$ और $3$ को मिलाएं.

$\frac{3}{2} \int (\frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3) \frac{1}{2} d u_{2}$

चरण 8

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{3}{2} (\frac{1}{2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3 d u_{2})$

चरण 9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 9.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{3}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{3}{2 \cdot 2} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3 d u_{2}$

चरण 9.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{3}{4} \int \frac{{u_{2}}^{2}}{4} - 3 d u_{2}$

चरण 10

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{3}{4} (\int \frac{{u_{2}}^{2}}{4} d u_{2} + \int - 3 d u_{2})$

चरण 11

चूँकि $\frac{1}{4}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{4}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{3}{4} (\frac{1}{4} \int {u_{2}}^{2} d u_{2} + \int - 3 d u_{2})$

चरण 12

घात नियम के अनुसार, $u_{2}$ के संबंध में ${u_{2}}^{2}$ का समाकलन $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ है.

$\frac{3}{4} (\frac{1}{4} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) + \int - 3 d u_{2})$

चरण 13

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{3}{4} (\frac{1}{4} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C) - 3 u_{2} + C)$

चरण 14

सरल करें.

$\frac{3}{4} (\frac{{u_{2}}^{3}}{12} - 3 u_{2}) + C$

चरण 15

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 15.1

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 {u_{1}}^{0.5}$ से बदलें.

$\frac{3}{4} (\frac{{(2 {u_{1}}^{0.5})}^{3}}{12} - 3 (2 {u_{1}}^{0.5})) + C$

चरण 15.2

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 x + 3$ से बदलें.

$\frac{3}{4} (\frac{{(2 {(2 x + 3)}^{0.5})}^{3}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

चरण 16

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1.1.1

उत्पाद नियम को $2 {(2 x + 3)}^{0.5}$ पर लागू करें.

$\frac{3}{4} (\frac{2^{3} {({(2 x + 3)}^{0.5})}^{3}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

चरण 16.1.1.2

$2$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{3}{4} (\frac{8 {({(2 x + 3)}^{0.5})}^{3}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

चरण 16.1.1.3

घातांक को ${({(2 x + 3)}^{0.5})}^{3}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1.1.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{8 {(2 x + 3)}^{0.5 \cdot 3}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

चरण 16.1.1.3.2

$0.5$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{3}{4} (\frac{8 {(2 x + 3)}^{1.5}}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

चरण 16.1.2

$8$ और $12$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1.2.1

$8 {(2 x + 3)}^{1.5}$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3}{4} (\frac{4 (2 {(2 x + 3)}^{1.5})}{12} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

चरण 16.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1.2.2.1

$12$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3}{4} (\frac{4 (2 {(2 x + 3)}^{1.5})}{4 (3)} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

चरण 16.1.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3}{4} (\frac{4 (2 {(2 x + 3)}^{1.5})}{4 \cdot 3} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

चरण 16.1.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{3}{4} (\frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5}}{3} - 3 (2 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

चरण 16.1.3

$2$ को $- 3$ से गुणा करें.

$\frac{3}{4} (\frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5}}{3} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

चरण 16.2

$- 6 {(2 x + 3)}^{0.5}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{3}{3}$ से गुणा करें.

$\frac{3}{4} (\frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5}}{3} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot \frac{3}{3}) + C$

चरण 16.3

$- 6 {(2 x + 3)}^{0.5}$ और $\frac{3}{3}$ को मिलाएं.

$\frac{3}{4} (\frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5}}{3} + \frac{- 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 3}{3}) + C$

चरण 16.4

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 3}{3} + C$

चरण 16.5

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.5.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3}{4} \cdot \frac{2 {(2 x + 3)}^{1.5} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 3}{3} + C$

चरण 16.5.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{4} (2 {(2 x + 3)}^{1.5} - 6 {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 3) + C$

चरण 16.6

$3$ को $- 6$ से गुणा करें.

$\frac{1}{4} (2 {(2 x + 3)}^{1.5} - 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

चरण 16.7

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{4} (2 {(2 x + 3)}^{1.5}) + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

चरण 16.8

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.8.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2 (2)} (2 {(2 x + 3)}^{1.5}) + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

चरण 16.8.2

$2 {(2 x + 3)}^{1.5}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2 (2)} (2 ({(2 x + 3)}^{1.5})) + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

चरण 16.8.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 {(2 x + 3)}^{1.5}) + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

चरण 16.8.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} {(2 x + 3)}^{1.5} + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

चरण 16.9

$\frac{1}{2}$ और ${(2 x + 3)}^{1.5}$ को मिलाएं.

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{4} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

चरण 16.10

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.10.1

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{2 (2)} (- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

चरण 16.10.2

$- 18 {(2 x + 3)}^{0.5}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{2 (2)} (2 (- 9 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

चरण 16.10.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (- 9 {(2 x + 3)}^{0.5})) + C$

चरण 16.10.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{1}{2} (- 9 {(2 x + 3)}^{0.5}) + C$

चरण 16.11

$- 9$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{- 9}{2} {(2 x + 3)}^{0.5} + C$

चरण 16.12

$\frac{- 9}{2}$ और ${(2 x + 3)}^{0.5}$ को मिलाएं.

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5}}{2} + \frac{- 9 {(2 x + 3)}^{0.5}}{2} + C$

चरण 16.13

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{{(2 x + 3)}^{1.5} - 9 {(2 x + 3)}^{0.5}}{2} + C$

चरण 16.14

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.14.1

${(2 x + 3)}^{1.5} - 9 {(2 x + 3)}^{0.5}$ में से ${(2 x + 3)}^{0.5}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.14.1.1

${(2 x + 3)}^{1.5}$ में से ${(2 x + 3)}^{0.5}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 3) - 9 {(2 x + 3)}^{0.5}}{2} + C$

चरण 16.14.1.2

$- 9 {(2 x + 3)}^{0.5}$ में से ${(2 x + 3)}^{0.5}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 3) + {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot - 9}{2} + C$

चरण 16.14.1.3

${(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 3) + {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot - 9$ में से ${(2 x + 3)}^{0.5}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 3 - 9)}{2} + C$

चरण 16.14.2

$3$ में से $9$ घटाएं.

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x - 6)}{2} + C$

चरण 16.14.3

$2 x - 6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.14.3.1

$2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 (x) - 6)}{2} + C$

चरण 16.14.3.2

$- 6$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 x + 2 \cdot - 3)}{2} + C$

चरण 16.14.3.3

$2 x + 2 \cdot - 3$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} (2 (x - 3))}{2} + C$

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 2 (x - 3)}{2} + C$

चरण 16.15

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.15.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{{(2 x + 3)}^{0.5} \cdot 2 (x - 3)}{2} + C$

चरण 16.15.2

${(2 x + 3)}^{0.5} (x - 3)$ को $1$ से विभाजित करें.

${(2 x + 3)}^{0.5} (x - 3) + C$

चरण 16.16

वितरण गुणधर्म लागू करें.

${(2 x + 3)}^{0.5} x + {(2 x + 3)}^{0.5} \cdot - 3 + C$

चरण 16.17

$- 3$ को ${(2 x + 3)}^{0.5}$ के बाईं ओर ले जाएं.

${(2 x + 3)}^{0.5} x - 3 \cdot {(2 x + 3)}^{0.5} + C$

चरण 16.18

गुणनखंडों को ${(2 x + 3)}^{0.5} x - 3 {(2 x + 3)}^{0.5}$ में पुन: क्रमित करें.

$x {(2 x + 3)}^{0.5} - 3 {(2 x + 3)}^{0.5} + C$