कैलकुलस उदाहरण

$\frac{4}{\sqrt{x}} + e^{3 x} + \frac{2}{x}$

चरण 1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int \frac{4}{\sqrt{x}} d x + \int e^{3 x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

चरण 2

चूँकि $4$ बटे $x$ अचर है, $4$ को समाकलन से हटा दें.

$4 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int e^{3 x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

चरण 3

घातांक के बुनियादी नियम लागू करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$4 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int e^{3 x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

चरण 3.2

$x^{\frac{1}{2}}$ को भाजक में से $- 1$ पावर तक बढ़ा कर हटा दें.

$4 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int e^{3 x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

चरण 3.3

घातांक को ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int e^{3 x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

चरण 3.3.2

$\frac{1}{2}$ और $- 1$ को मिलाएं.

$4 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int e^{3 x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

चरण 3.3.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$4 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int e^{3 x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

चरण 4

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{- \frac{1}{2}}$ का समाकलन $2 x^{\frac{1}{2}}$ है.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int e^{3 x} d x + \int \frac{2}{x} d x$

चरण 5

मान लीजिए $u = 3 x$ .फिर $d u = 3 d x$ , तो $\frac{1}{3} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

मान लें $u = 3 x$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$3 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [3 x]$

चरण 5.1.2

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 5.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 \cdot 1$

चरण 5.1.4

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$3$

चरण 5.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int e^{u} \frac{1}{3} d u + \int \frac{2}{x} d x$

चरण 6

$e^{u}$ और $\frac{1}{3}$ को मिलाएं.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int \frac{e^{u}}{3} d u + \int \frac{2}{x} d x$

चरण 7

चूँकि $\frac{1}{3}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{3}$ को समाकलन से हटा दें.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{3} \int e^{u} d u + \int \frac{2}{x} d x$

चरण 8

$u$ के संबंध में $e^{u}$ का इंटीग्रल $e^{u}$ है.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{3} (e^{u} + C) + \int \frac{2}{x} d x$

चरण 9

चूँकि $2$ बटे $x$ अचर है, $2$ को समाकलन से हटा दें.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{3} (e^{u} + C) + 2 \int \frac{1}{x} d x$

चरण 10

$x$ के संबंध में $\frac{1}{x}$ का इंटीग्रल $\ln (| x |)$ है.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \frac{1}{3} (e^{u} + C) + 2 (\ln (| x |) + C)$

चरण 11

सरल करें.

$8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{e^{u}}{3} + 2 \ln (| x |) + C$

चरण 12

$u$ की सभी घटनाओं को $3 x$ से बदलें.

$8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{e^{3 x}}{3} + 2 \ln (| x |) + C$

चरण 13

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$8 x^{\frac{1}{2}} + \frac{1}{3} e^{3 x} + 2 \ln (| x |) + C$