कैलकुलस उदाहरण

$\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$

चरण 1

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int \cos^{2} (x) d x + \int - \sin^{2} (x) d x$

चरण 2

$\cos^{2} (x)$ को $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए अर्ध-कोण सूत्र का प्रयोग करें.

$\int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x + \int - \sin^{2} (x) d x$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x + \int - \sin^{2} (x) d x$

चरण 4

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{2} (\int d x + \int \cos (2 x) d x) + \int - \sin^{2} (x) d x$

चरण 5

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{2} (x + C + \int \cos (2 x) d x) + \int - \sin^{2} (x) d x$

चरण 6

मान लीजिए $u_{1} = 2 x$ .फिर $d u_{1} = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . $u_{1}$ और $d$ $u_{1}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

मान लें $u_{1} = 2 x$ . $\frac{d u_{1}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 6.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 6.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1$

चरण 6.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 6.2

$u_{1}$ और $d u_{1}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} (x + C + \int \cos (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1}) + \int - \sin^{2} (x) d x$

चरण 7

$\cos (u_{1})$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (x + C + \int \frac{\cos (u_{1})}{2} d u_{1}) + \int - \sin^{2} (x) d x$

चरण 8

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{1}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int - \sin^{2} (x) d x$

चरण 9

$u_{1}$ के संबंध में $\cos (u_{1})$ का इंटीग्रल $\sin (u_{1})$ है.

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) + \int - \sin^{2} (x) d x$

चरण 10

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \int \sin^{2} (x) d x$

चरण 11

$\sin^{2} (x)$ को $\frac{1 - \cos (2 x)}{2}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए अर्ध-कोण सूत्र का प्रयोग करें.

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \int \frac{1 - \cos (2 x)}{2} d x$

चरण 12

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $x$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 x) d x)$

चरण 13

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (\int d x + \int - \cos (2 x) d x)$

चरण 14

स्थिरांक नियम लागू करें.

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (x + C + \int - \cos (2 x) d x)$

चरण 15

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (x + C - \int \cos (2 x) d x)$

चरण 16

मान लीजिए $u_{2} = 2 x$ .फिर $d u_{2} = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . $u_{2}$ और $d$ $u_{2}$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1

मान लें $u_{2} = 2 x$ . $\frac{d u_{2}}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 16.1.1

$2 x$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x]$

चरण 16.1.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x]$

चरण 16.1.3

$2 \cdot 1$

चरण 16.1.4

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2$

चरण 16.2

$u_{2}$ और $d u_{2}$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (x + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

चरण 17

$\cos (u_{2})$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (x + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

चरण 18

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u_{2}$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (x + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

चरण 19

$u_{2}$ के संबंध में $\cos (u_{2})$ का इंटीग्रल $\sin (u_{2})$ है.

$\frac{1}{2} (x + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + C)) - \frac{1}{2} (x + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

चरण 20

सरल करें.

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (u_{1})) - \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

चरण 21

प्रत्येक एकीकरण प्रतिस्थापन चर के लिए वापस प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 21.1

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

चरण 21.2

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 x$ से बदलें.

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{1}{2} (x - \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C$

चरण 22

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 22.1

$\sin (2 x)$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{1}{2} (x - \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

चरण 22.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{1}{2} x - \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

चरण 22.3

$x$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{x}{2} - \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2}) + C$

चरण 22.4

$- \frac{1}{2} (- \frac{\sin (2 x)}{2})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 22.4.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{x}{2} + 1 (\frac{1}{2}) \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

चरण 22.4.2

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

चरण 22.4.3

$\frac{1}{2}$ को $\frac{\sin (2 x)}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

चरण 22.4.4

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) - \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

चरण 22.5

$\frac{1}{2}$ और $\sin (2 x)$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) - \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

चरण 22.6

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} - \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

चरण 22.7

$\frac{1}{2}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{x}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2} - \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

चरण 22.8

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 x)}{2}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 22.8.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{\sin (2 x)}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{2 \cdot 2} - \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

चरण 22.8.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} - \frac{x}{2} + \frac{\sin (2 x)}{4} + C$

चरण 23

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) - \frac{1}{2} x + \frac{1}{4} \sin (2 x) + C$