कैलकुलस उदाहरण

$\arctan (x)$

चरण 1

$\int u d v = u v - \int v d u$ , जहां $u = \arctan (x)$ और $d v = 1$ सूत्र का उपयोग करके भागों द्वारा एकीकृत करें.

$\arctan (x) x - \int x \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

चरण 2

$x$ और $\frac{1}{x^{2} + 1}$ को मिलाएं.

$\arctan (x) x - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

चरण 3

मान लीजिए $u = x^{2} + 1$ .फिर $d u = 2 x d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = x d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

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चरण 3.1

मान लें $u = x^{2} + 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

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चरण 3.1.1

$x^{2} + 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

चरण 3.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 3.1.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

चरण 3.1.4

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 x + 0$

चरण 3.1.5

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 3.2

$u$ और $d u$ का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\arctan (x) x - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 4

सरल करें.

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चरण 4.1

$\frac{1}{u}$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\arctan (x) x - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

चरण 4.2

$2$ को $u$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\arctan (x) x - \int \frac{1}{2 u} d u$

चरण 5

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\arctan (x) x - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

चरण 6

$u$ के संबंध में $\frac{1}{u}$ का इंटीग्रल $\ln (| u |)$ है.

$\arctan (x) x - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

चरण 7

सरल करें.

$\arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

चरण 8

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{2} + 1$ से बदलें.

$\arctan (x) x - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$