कैलकुलस उदाहरण

$x^{5 y} = y^{6 x}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (x^{5 y}) = \frac{d}{d x} (y^{6 x})$

चरण 2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

सामान्यीकृत घात नियम का उपयोग करके अंतर करें जिसमें कहा गया है कि $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ है जहां $f = x$ और $g = 5 y$ हैं.

$\frac{d}{d x} [x] (5 y x^{5 y - 1}) + \frac{d}{d x} [5 y] (x^{5 y} \ln (x))$

चरण 2.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$1 (5 y x^{5 y - 1}) + \frac{d}{d x} [5 y] (x^{5 y} \ln (x))$

चरण 2.2.2

$5$ को $1$ से गुणा करें.

$5 (y x^{5 y - 1}) + \frac{d}{d x} [5 y] (x^{5 y} \ln (x))$

चरण 2.2.3

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 y$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [y]$ है.

$5 y x^{5 y - 1} + 5 \frac{d}{d x} [y] (x^{5 y} \ln (x))$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$5 y x^{5 y - 1} + 5 y' (x^{5 y} \ln (x))$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$5 x^{5 y - 1} y + 5 x^{5 y} \ln (x) y'$

चरण 2.4.2

गुणनखंडों को $5 x^{5 y - 1} y + 5 x^{5 y} \ln (x) y'$ में पुन: क्रमित करें.

$5 y x^{5 y - 1} + 5 x^{5 y} \ln (x) y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

सामान्यीकृत घात नियम का उपयोग करके अंतर करें जिसमें कहा गया है कि $\frac{d}{d x} [f^{g}]$ $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ है जहां $f = y$ और $g = 6 x$ हैं.

$\frac{d}{d x} [y] (6 x y^{6 x - 1}) + \frac{d}{d x} [6 x] (y^{6 x} \ln (y))$

चरण 3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' (6 x y^{6 x - 1}) + \frac{d}{d x} [6 x] (y^{6 x} \ln (y))$

चरण 3.3

चूंकि $6$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $6 x$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$y' (6 x y^{6 x - 1}) + 6 \frac{d}{d x} [x] (y^{6 x} \ln (y))$

चरण 3.4

$y' (6 x y^{6 x - 1}) + 6 \cdot 1 (y^{6 x} \ln (y))$

चरण 3.5

$6$ को $1$ से गुणा करें.

$y' (6 x y^{6 x - 1}) + 6 (y^{6 x} \ln (y))$

चरण 3.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$6 y^{6 x - 1} x y' + 6 y^{6 x} \ln (y)$

चरण 3.6.2

गुणनखंडों को $6 y^{6 x - 1} x y' + 6 y^{6 x} \ln (y)$ में पुन: क्रमित करें.

$6 x y^{6 x - 1} y' + 6 y^{6 x} \ln (y)$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$5 y x^{5 y - 1} + 5 x^{5 y} \ln (x) y' = 6 x y^{6 x - 1} y' + 6 y^{6 x} \ln (y)$

चरण 5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

लघुगणक वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं पक्ष की ओर ले जाएँ.

$5 x^{5 y} \ln (x) y' - 6 y^{6 x} \ln (y) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y^{6 x - 1} y'$

चरण 5.2

गुणनखंडों को $5 x^{5 y} \ln (x) y' - 6 y^{6 x} \ln (y)$ में पुन: क्रमित करें.

$5 y' x^{5 y} \ln (x) - 6 y^{6 x} \ln (y) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y^{6 x - 1} y'$

चरण 5.3

गुणनखंडों को $- 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y^{6 x - 1} y'$ में पुन: क्रमित करें.

$5 y' x^{5 y} \ln (x) - 6 y^{6 x} \ln (y) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y' y^{6 x - 1}$

चरण 5.4

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.1

$5$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $5 \ln (x)$ को सरल करें.

$y' x^{5 y} \ln (x^{5}) - 6 y^{6 x} \ln (y) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y' y^{6 x - 1}$

चरण 5.4.1.2

$6$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $- 6 \ln (y)$ को सरल करें.

$y' x^{5 y} \ln (x^{5}) + y^{6 x} (- \ln (y^{6})) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y' y^{6 x - 1}$

चरण 5.4.1.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$y' x^{5 y} \ln (x^{5}) - y^{6 x} \ln (y^{6}) = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y' y^{6 x - 1}$

चरण 5.5

गुणनखंडों को $y' x^{5 y} \ln (x^{5}) - y^{6 x} \ln (y^{6})$ में पुन: क्रमित करें.

$y' \ln (x^{5}) x^{5 y} - \ln (y^{6}) y^{6 x} = - 5 y x^{5 y - 1} + 6 x y' y^{6 x - 1}$

चरण 5.6

समीकरण के दोनों पक्षों से $6 x y' y^{6 x - 1}$ घटाएं.

$y' \ln (x^{5}) x^{5 y} - \ln (y^{6}) y^{6 x} - 6 x y' y^{6 x - 1} = - 5 y x^{5 y - 1}$

चरण 5.7

समीकरण के दोनों पक्षों में $\ln (y^{6}) y^{6 x}$ जोड़ें.

$y' \ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y' y^{6 x - 1} = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$

चरण 5.8

$y' \ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y' y^{6 x - 1}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.8.1

$y' \ln (x^{5}) x^{5 y}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (\ln (x^{5}) x^{5 y}) - 6 x y' y^{6 x - 1} = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$

चरण 5.8.2

$- 6 x y' y^{6 x - 1}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (\ln (x^{5}) x^{5 y}) + y' (- 6 x y^{6 x - 1}) = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$

चरण 5.8.3

$y' (\ln (x^{5}) x^{5 y}) + y' (- 6 x y^{6 x - 1})$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}) = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$

चरण 5.9

$y' (\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}) = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$ के प्रत्येक पद को $\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.9.1

$y' (\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}) = - 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}$ के प्रत्येक पद को $\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}$ से विभाजित करें.

$\frac{y' (\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1})}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}} = \frac{- 5 y x^{5 y - 1}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}} + \frac{\ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

चरण 5.9.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.9.2.1

$\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.9.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

चरण 5.9.2.1.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{- 5 y x^{5 y - 1}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}} + \frac{\ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

चरण 5.9.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.9.3.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y' = \frac{- 5 y x^{5 y - 1} + \ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

चरण 5.9.3.2

$- 5 y x^{5 y - 1}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{- (5 y x^{5 y - 1}) + \ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

चरण 5.9.3.3

$\ln (y^{6}) y^{6 x}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{- (5 y x^{5 y - 1}) - (- \ln (y^{6}) y^{6 x})}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

चरण 5.9.3.4

$- (5 y x^{5 y - 1}) - (- \ln (y^{6}) y^{6 x})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{- (5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x})}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

चरण 5.9.3.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.9.3.5.1

$- (5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x})$ को $- 1 (5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x})$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' = \frac{- 1 (5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x})}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

चरण 5.9.3.5.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{5 y x^{5 y - 1} - \ln (y^{6}) y^{6 x}}{\ln (x^{5}) x^{5 y} - 6 x y^{6 x - 1}}$