कैलकुलस उदाहरण

$y^{3} e^{x} + x = y^{6} x$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y^{3} e^{x} + x) = \frac{d}{d x} (y^{6} x)$

चरण 2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $y^{3} e^{x} + x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [y^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{d}{d x} [y^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [y^{3} e^{x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = y^{3}$ और $g (x) = e^{x}$ है.

$y^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$y^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.2.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$y^{3} e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$y^{3} e^{x} + e^{x} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.2.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$y^{3} e^{x} + e^{x} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$y^{3} e^{x} + e^{x} (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.2.5

$3$ को $e^{x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y^{3} e^{x} + 3 e^{x} y^{2} y' + \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$y^{3} e^{x} + 3 e^{x} y^{2} y' + 1$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$e^{x} y^{3} + 3 e^{x} y^{2} y' + 1$

चरण 2.4.2

गुणनखंडों को $e^{x} y^{3} + 3 e^{x} y^{2} y' + 1$ में पुन: क्रमित करें.

$y^{3} e^{x} + 3 y^{2} e^{x} y' + 1$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = y^{6}$ और $g (x) = x$ है.

$y^{6} \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [y^{6}]$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

$y^{6} \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [y^{6}]$

चरण 3.2.2

$y^{6}$ को $1$ से गुणा करें.

$y^{6} + x \frac{d}{d x} [y^{6}]$

चरण 3.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{6}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$y^{6} + x (\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d x} [y])$

चरण 3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 6$ है.

$y^{6} + x (6 u^{5} \frac{d}{d x} [y])$

चरण 3.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$y^{6} + x (6 y^{5} \frac{d}{d x} [y])$

चरण 3.4

$6$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$y^{6} + 6 \cdot x y^{5} \frac{d}{d x} [y]$

चरण 3.5

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$y^{6} + 6 x y^{5} y'$

चरण 3.6

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$y^{6} + 6 y^{5} x y'$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y^{3} e^{x} + 3 y^{2} e^{x} y' + 1 = y^{6} + 6 y^{5} x y'$

चरण 5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

गुणनखंडों को $y^{3} e^{x} + 3 y^{2} e^{x} y' + 1$ में पुन: क्रमित करें.

$y^{3} e^{x} + 3 y^{2} y' e^{x} + 1 = y^{6} + 6 y^{5} x y'$

चरण 5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $6 y^{5} x y'$ घटाएं.

$y^{3} e^{x} + 3 y^{2} y' e^{x} + 1 - 6 y^{5} x y' = y^{6}$

चरण 5.3

$y'$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $y^{3} e^{x}$ घटाएं.

$3 y^{2} y' e^{x} + 1 - 6 y^{5} x y' = y^{6} - y^{3} e^{x}$

चरण 5.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$3 y^{2} y' e^{x} - 6 y^{5} x y' = y^{6} - y^{3} e^{x} - 1$

चरण 5.4

$3 y^{2} y' e^{x} - 6 y^{5} x y'$ में से $3 y^{2} y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$3 y^{2} y' e^{x}$ में से $3 y^{2} y'$ का गुणनखंड करें.

$3 y^{2} y' e^{x} - 6 y^{5} x y' = y^{6} - y^{3} e^{x} - 1$

चरण 5.4.2

$- 6 y^{5} x y'$ में से $3 y^{2} y'$ का गुणनखंड करें.

$3 y^{2} y' e^{x} + 3 y^{2} y' (- 2 y^{3} x) = y^{6} - y^{3} e^{x} - 1$

चरण 5.4.3

$3 y^{2} y' e^{x} + 3 y^{2} y' (- 2 y^{3} x)$ में से $3 y^{2} y'$ का गुणनखंड करें.

$3 y^{2} y' (e^{x} - 2 y^{3} x) = y^{6} - y^{3} e^{x} - 1$

चरण 5.5

$3 y^{2} y' (e^{x} - 2 y^{3} x) = y^{6} - y^{3} e^{x} - 1$ के प्रत्येक पद को $3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

$3 y^{2} y' (e^{x} - 2 y^{3} x) = y^{6} - y^{3} e^{x} - 1$ के प्रत्येक पद को $3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)$ से विभाजित करें.

$\frac{3 y^{2} y' (e^{x} - 2 y^{3} x)}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} = \frac{y^{6}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- y^{3} e^{x}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

चरण 5.5.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

चरण 5.5.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y^{2} y' (e^{x} - 2 y^{3} x)}{y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} = \frac{y^{6}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- y^{3} e^{x}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

चरण 5.5.2.2

$y^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

चरण 5.5.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y' (e^{x} - 2 y^{3} x)}{e^{x} - 2 y^{3} x} = \frac{y^{6}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- y^{3} e^{x}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

चरण 5.5.2.3

$e^{x} - 2 y^{3} x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (e^{x} - 2 y^{3} x)}{e^{x} - 2 y^{3} x} = \frac{y^{6}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- y^{3} e^{x}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

चरण 5.5.2.3.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{y^{6}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- y^{3} e^{x}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

चरण 5.5.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.1.1

$y^{6}$ और $y^{2}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.1.1.1

$y^{6}$ में से $y^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{y^{2} y^{4}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- y^{3} e^{x}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

चरण 5.5.3.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.1.1.2.1

$3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)$ में से $y^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{y^{2} y^{4}}{y^{2} (3 (e^{x} - 2 y^{3} x))} + \frac{- y^{3} e^{x}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

चरण 5.5.3.1.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = \frac{y^{2} y^{4}}{y^{2} (3 (e^{x} - 2 y^{3} x))} + \frac{- y^{3} e^{x}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

चरण 5.5.3.1.1.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{y^{4}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- y^{3} e^{x}}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

चरण 5.5.3.1.2

$y^{3}$ और $y^{2}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.1.2.1

$- y^{3} e^{x}$ में से $y^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{y^{4}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{y^{2} (- y e^{x})}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

चरण 5.5.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.1.2.2.1

$3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)$ में से $y^{2}$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{y^{4}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{y^{2} (- y e^{x})}{y^{2} (3 (e^{x} - 2 y^{3} x))} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

चरण 5.5.3.1.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = \frac{y^{4}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{y^{2} (- y e^{x})}{y^{2} (3 (e^{x} - 2 y^{3} x))} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

चरण 5.5.3.1.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{y^{4}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- y e^{x}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

चरण 5.5.3.1.3

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = \frac{y^{4}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} - \frac{y e^{x}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} + \frac{- 1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

चरण 5.5.3.1.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = \frac{y^{4}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} - \frac{y e^{x}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} - \frac{1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{4}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} - \frac{y e^{x}}{3 (e^{x} - 2 y^{3} x)} - \frac{1}{3 y^{2} (e^{x} - 2 y^{3} x)}$