कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{{(3 x - 4)}^{4}}{{(2 x + 3)}^{7}}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{{(3 x - 4)}^{4}}{{(2 x + 3)}^{7}})$

चरण 2

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = {(3 x - 4)}^{4}$ और $g (x) = {(2 x + 3)}^{7}$ है.

$\frac{{(2 x + 3)}^{7} \frac{d}{d x} [{(3 x - 4)}^{4}] - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{({(2 x + 3)}^{7})}^{2}}$

चरण 3.2

घातांक को ${({(2 x + 3)}^{7})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 x + 3)}^{7} \frac{d}{d x} [{(3 x - 4)}^{4}] - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{7 \cdot 2}}$

चरण 3.2.2

$7$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{{(2 x + 3)}^{7} \frac{d}{d x} [{(3 x - 4)}^{4}] - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

चरण 3.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{4}$ और $g (x) = 3 x - 4$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $3 x - 4$ के रूप में सेट करें.

$\frac{{(2 x + 3)}^{7} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [3 x - 4]) - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

चरण 3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$\frac{{(2 x + 3)}^{7} (4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [3 x - 4]) - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

चरण 3.3.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $3 x - 4$ से बदलें.

$\frac{{(2 x + 3)}^{7} (4 {(3 x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x - 4]) - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

चरण 3.4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$4$ को ${(2 x + 3)}^{7}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{4 \cdot {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [3 x - 4] - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

चरण 3.4.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x - 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ है.

$\frac{4 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

चरण 3.4.3

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{4 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

चरण 3.4.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{4 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

चरण 3.4.5

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{4 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} (3 + \frac{d}{d x} [- 4]) - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

चरण 3.4.6

चूंकि $x$ के संबंध में $- 4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{4 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} (3 + 0) - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

चरण 3.4.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.7.1

$3$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{4 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} \cdot 3 - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

चरण 3.4.7.2

$3$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - {(3 x - 4)}^{4} \frac{d}{d x} [{(2 x + 3)}^{7}]}{{(2 x + 3)}^{14}}$

चरण 3.5

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{7}$ और $g (x) = 2 x + 3$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $2 x + 3$ के रूप में सेट करें.

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - {(3 x - 4)}^{4} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{7}] \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{14}}$

चरण 3.5.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 7$ है.

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - {(3 x - 4)}^{4} (7 {u_{2}}^{6} \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{14}}$

चरण 3.5.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 x + 3$ से बदलें.

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - {(3 x - 4)}^{4} (7 {(2 x + 3)}^{6} \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{14}}$

चरण 3.6

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

$7$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 7 {(3 x - 4)}^{4} ({(2 x + 3)}^{6} \frac{d}{d x} [2 x + 3])}{{(2 x + 3)}^{14}}$

चरण 3.6.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x + 3$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]$ है.

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 7 {(3 x - 4)}^{4} ({(2 x + 3)}^{6} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

चरण 3.6.3

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 7 {(3 x - 4)}^{4} ({(2 x + 3)}^{6} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

चरण 3.6.4

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 7 {(3 x - 4)}^{4} ({(2 x + 3)}^{6} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

चरण 3.6.5

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 7 {(3 x - 4)}^{4} ({(2 x + 3)}^{6} (2 + \frac{d}{d x} [3]))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

चरण 3.6.6

चूंकि $x$ के संबंध में $3$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $3$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 7 {(3 x - 4)}^{4} ({(2 x + 3)}^{6} (2 + 0))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

चरण 3.6.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.7.1

$2$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 7 {(3 x - 4)}^{4} ({(2 x + 3)}^{6} \cdot 2)}{{(2 x + 3)}^{14}}$

चरण 3.6.7.2

$2$ को ${(2 x + 3)}^{6}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 7 {(3 x - 4)}^{4} (2 \cdot {(2 x + 3)}^{6})}{{(2 x + 3)}^{14}}$

चरण 3.6.7.3

$2$ को $- 7$ से गुणा करें.

$\frac{12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 14 {(3 x - 4)}^{4} {(2 x + 3)}^{6}}{{(2 x + 3)}^{14}}$

चरण 3.7

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1.1

$12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3} - 14 {(3 x - 4)}^{4} {(2 x + 3)}^{6}$ में से $2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1.1.1

$12 {(2 x + 3)}^{7} {(3 x - 4)}^{3}$ में से $2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (6 (2 x + 3)) - 14 {(3 x - 4)}^{4} {(2 x + 3)}^{6}}{{(2 x + 3)}^{14}}$

चरण 3.7.1.1.2

$- 14 {(3 x - 4)}^{4} {(2 x + 3)}^{6}$ में से $2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (6 (2 x + 3)) + 2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (- 7 (3 x - 4))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

चरण 3.7.1.1.3

$2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (6 (2 x + 3)) + 2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (- 7 (3 x - 4))$ में से $2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (6 (2 x + 3) - 7 (3 x - 4))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

चरण 3.7.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (6 (2 x) + 6 \cdot 3 - 7 (3 x - 4))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

चरण 3.7.1.3

$2$ को $6$ से गुणा करें.

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (12 x + 6 \cdot 3 - 7 (3 x - 4))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

चरण 3.7.1.4

$6$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (12 x + 18 - 7 (3 x - 4))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

चरण 3.7.1.5

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (12 x + 18 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 4)}{{(2 x + 3)}^{14}}$

चरण 3.7.1.6

$3$ को $- 7$ से गुणा करें.

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (12 x + 18 - 21 x - 7 \cdot - 4)}{{(2 x + 3)}^{14}}$

चरण 3.7.1.7

$- 7$ को $- 4$ से गुणा करें.

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (12 x + 18 - 21 x + 28)}{{(2 x + 3)}^{14}}$

चरण 3.7.1.8

$12 x$ में से $21 x$ घटाएं.

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (- 9 x + 18 + 28)}{{(2 x + 3)}^{14}}$

चरण 3.7.1.9

$18$ और $28$ जोड़ें.

$\frac{2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (- 9 x + 46)}{{(2 x + 3)}^{14}}$

चरण 3.7.2

${(2 x + 3)}^{6}$ और ${(2 x + 3)}^{14}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.2.1

$2 {(2 x + 3)}^{6} {(3 x - 4)}^{3} (- 9 x + 46)$ में से ${(2 x + 3)}^{6}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{{(2 x + 3)}^{6} (2 {(3 x - 4)}^{3} (- 9 x + 46))}{{(2 x + 3)}^{14}}$

चरण 3.7.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.2.2.1

${(2 x + 3)}^{14}$ में से ${(2 x + 3)}^{6}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{{(2 x + 3)}^{6} (2 {(3 x - 4)}^{3} (- 9 x + 46))}{{(2 x + 3)}^{6} {(2 x + 3)}^{8}}$

चरण 3.7.2.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{{(2 x + 3)}^{6} (2 {(3 x - 4)}^{3} (- 9 x + 46))}{{(2 x + 3)}^{6} {(2 x + 3)}^{8}}$

चरण 3.7.2.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{2 {(3 x - 4)}^{3} (- 9 x + 46)}{{(2 x + 3)}^{8}}$

चरण 3.7.3

$- 9 x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 {(3 x - 4)}^{3} (- (9 x) + 46)}{{(2 x + 3)}^{8}}$

चरण 3.7.4

$46$ को $- 1 (- 46)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{2 {(3 x - 4)}^{3} (- (9 x) - 1 (- 46))}{{(2 x + 3)}^{8}}$

चरण 3.7.5

$- (9 x) - 1 (- 46)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 {(3 x - 4)}^{3} (- (9 x - 46))}{{(2 x + 3)}^{8}}$

चरण 3.7.6

$- (9 x - 46)$ को $- 1 (9 x - 46)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{2 {(3 x - 4)}^{3} (- 1 (9 x - 46))}{{(2 x + 3)}^{8}}$

चरण 3.7.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{(2 {(3 x - 4)}^{3}) (9 x - 46)}{{(2 x + 3)}^{8}}$

चरण 3.7.8

गुणनखंडों को $- \frac{(2 {(3 x - 4)}^{3}) (9 x - 46)}{{(2 x + 3)}^{8}}$ में पुन: क्रमित करें.

$- \frac{2 {(3 x - 4)}^{3} (9 x - 46)}{{(2 x + 3)}^{8}}$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = - \frac{2 {(3 x - 4)}^{3} (9 x - 46)}{{(2 x + 3)}^{8}}$

चरण 5

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 {(3 x - 4)}^{3} (9 x - 46)}{{(2 x + 3)}^{8}}$