कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{1 - 3 x}{x^{2} + 7}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1 - 3 x}{x^{2} + 7})$

चरण 2

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = 1 - 3 x$ और $g (x) = x^{2} + 7$ है.

$\frac{(x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [1 - 3 x] - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

चरण 3.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 - 3 x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ है.

$\frac{(x^{2} + 7) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

चरण 3.2.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(x^{2} + 7) (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

चरण 3.2.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ जोड़ें.

$\frac{(x^{2} + 7) \frac{d}{d x} [- 3 x] - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

चरण 3.2.4

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3 x$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{(x^{2} + 7) (- 3 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

चरण 3.2.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(x^{2} + 7) (- 3 \cdot 1) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

चरण 3.2.6

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.6.1

$- 3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(x^{2} + 7) \cdot - 3 - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

चरण 3.2.6.2

$- 3$ को $x^{2} + 7$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{- 3 \cdot (x^{2} + 7) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

चरण 3.2.7

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + 7$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ है.

$\frac{- 3 (x^{2} + 7) - (1 - 3 x) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7])}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

चरण 3.2.8

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{- 3 (x^{2} + 7) - (1 - 3 x) (2 x + \frac{d}{d x} [7])}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

चरण 3.2.9

चूंकि $x$ के संबंध में $7$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $7$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{- 3 (x^{2} + 7) - (1 - 3 x) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

चरण 3.2.10

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.10.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{- 3 (x^{2} + 7) - (1 - 3 x) (2 x)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

चरण 3.2.10.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{- 3 (x^{2} + 7) - 2 (1 - 3 x) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

चरण 3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{- 3 x^{2} - 3 \cdot 7 - 2 (1 - 3 x) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

चरण 3.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{- 3 x^{2} - 3 \cdot 7 + (- 2 \cdot 1 - 2 (- 3 x)) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

चरण 3.3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{- 3 x^{2} - 3 \cdot 7 - 2 \cdot 1 x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

चरण 3.3.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.4.1.1

$- 3$ को $7$ से गुणा करें.

$\frac{- 3 x^{2} - 21 - 2 \cdot 1 x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

चरण 3.3.4.1.2

$- 2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- 3 x^{2} - 21 - 2 x - 2 (- 3 x) x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

चरण 3.3.4.1.3

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.4.1.3.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{- 3 x^{2} - 21 - 2 x - 2 (- 3 (x \cdot x))}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

चरण 3.3.4.1.3.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{- 3 x^{2} - 21 - 2 x - 2 (- 3 x^{2})}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

चरण 3.3.4.1.4

$- 3$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{- 3 x^{2} - 21 - 2 x + 6 x^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

चरण 3.3.4.2

$- 3 x^{2}$ और $6 x^{2}$ जोड़ें.

$\frac{3 x^{2} - 21 - 2 x}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

चरण 3.3.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{3 x^{2} - 2 x - 21}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

चरण 3.3.6

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.6.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 3 \cdot - 21 = - 63$ है और जिसका योग $b = - 2$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.6.1.1

$- 2 x$ में से $- 2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 x^{2} - 2 (x) - 21}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

चरण 3.3.6.1.2

$- 2$ को $7$ जोड़ $- 9$ के रूप में फिर से लिखें

$\frac{3 x^{2} + (7 - 9) x - 21}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

चरण 3.3.6.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3 x^{2} + 7 x - 9 x - 21}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

चरण 3.3.6.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.6.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$\frac{(3 x^{2} + 7 x) - 9 x - 21}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

चरण 3.3.6.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$\frac{x (3 x + 7) - 3 (3 x + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

चरण 3.3.6.3

महत्तम समापवर्तक, $3 x + 7$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$\frac{(3 x + 7) (x - 3)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = \frac{(3 x + 7) (x - 3)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$

चरण 5

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(3 x + 7) (x - 3)}{{(x^{2} + 7)}^{2}}$