कैलकुलस उदाहरण

$y = {(x + 1)}^{x + 1}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{x + 1})$

चरण 2

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

विभेदन को सरल बनाने के लिए लघुगणक के गुणों का उपयोग करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

${(x + 1)}^{x + 1}$ को $e^{\ln ({(x + 1)}^{x + 1})}$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(x + 1)}^{x + 1})}]$

चरण 3.1.2

$x + 1$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln ({(x + 1)}^{x + 1})$ का प्रसार करें.

$\frac{d}{d x} [e^{(x + 1) \ln (x + 1)}]$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = (x + 1) \ln (x + 1)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $(x + 1) \ln (x + 1)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [(x + 1) \ln (x + 1)]$

चरण 3.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [(x + 1) \ln (x + 1)]$

चरण 3.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $(x + 1) \ln (x + 1)$ से बदलें.

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} \frac{d}{d x} [(x + 1) \ln (x + 1)]$

चरण 3.3

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x + 1$ और $g (x) = \ln (x + 1)$ है.

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x + 1)] + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

चरण 3.4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $x + 1$ के रूप में सेट करें.

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

चरण 3.4.2

$u_{2}$ के संबंध में $\ln (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{2}}$ है.

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

चरण 3.4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x + 1$ से बदलें.

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) (\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

चरण 3.5

अवकलन करें.

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चरण 3.5.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

चरण 3.5.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

चरण 3.5.3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} (1 + 0) + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

चरण 3.5.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} \cdot 1 + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

चरण 3.5.4.2

$x + 1$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} + \ln (x + 1) \frac{d}{d x} [x + 1])$

चरण 3.5.5

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} + \ln (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]))$

चरण 3.5.6

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} + \ln (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]))$

चरण 3.5.7

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} + \ln (x + 1) (1 + 0))$

चरण 3.5.8

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.8.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} + \ln (x + 1) \cdot 1)$

चरण 3.5.8.2

$\ln (x + 1)$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) \frac{1}{x + 1} + \ln (x + 1))$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) (\frac{1}{x + 1}) + \ln (x + 1))$

चरण 5

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = e^{(x + 1) \ln (x + 1)} ((x + 1) (\frac{1}{x + 1}) + \ln (x + 1))$