कैलकुलस उदाहरण

$y = \ln (3 x^{2} - 5 x + 2)$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (3 x^{2} - 5 x + 2))$

चरण 2

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = 3 x^{2} - 5 x + 2$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $3 x^{2} - 5 x + 2$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 2]$

चरण 3.1.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 2]$

चरण 3.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $3 x^{2} - 5 x + 2$ से बदलें.

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} \frac{d}{d x} [3 x^{2} - 5 x + 2]$

चरण 3.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x^{2} - 5 x + 2$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2]$ है.

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

चरण 3.2.2

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x^{2}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

चरण 3.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

चरण 3.2.4

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [2])$

चरण 3.2.5

चूंकि $- 5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 5 x$ का व्युत्पन्न $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

चरण 3.2.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

चरण 3.2.7

$- 5$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5 + \frac{d}{d x} [2])$

चरण 3.2.8

चूंकि $x$ के संबंध में $2$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $2$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5 + 0)$

चरण 3.2.9

$6 x - 5$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5)$

चरण 3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$\frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2} (6 x - 5)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(6 x - 5) \frac{1}{3 x^{2} - 5 x + 2}$

चरण 3.3.2

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ है और जिसका योग $b = - 5$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.1

$- 5 x$ में से $- 5$ का गुणनखंड करें.

$(6 x - 5) \frac{1}{3 x^{2} - 5 (x) + 2}$

चरण 3.3.2.1.2

$- 5$ को $- 2$ जोड़ $- 3$ के रूप में फिर से लिखें

$(6 x - 5) \frac{1}{3 x^{2} + (- 2 - 3) x + 2}$

चरण 3.3.2.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(6 x - 5) \frac{1}{3 x^{2} - 2 x - 3 x + 2}$

चरण 3.3.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$(6 x - 5) \frac{1}{(3 x^{2} - 2 x) - 3 x + 2}$

चरण 3.3.2.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$(6 x - 5) \frac{1}{x (3 x - 2) - (3 x - 2)}$

चरण 3.3.2.3

महत्तम समापवर्तक, $3 x - 2$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$(6 x - 5) \frac{1}{(3 x - 2) (x - 1)}$

चरण 3.3.3

$6 x - 5$ को $\frac{1}{(3 x - 2) (x - 1)}$ से गुणा करें.

$\frac{6 x - 5}{(3 x - 2) (x - 1)}$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = \frac{6 x - 5}{(3 x - 2) (x - 1)}$

चरण 5

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x - 5}{(3 x - 2) (x - 1)}$