कैलकुलस उदाहरण

$w = {(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{- 3}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (w) = \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{- 3})$

चरण 2

$x$ के संबंध में $w$ का व्युत्पन्न $w'$ है.

$w'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = {(x + 4)}^{3}$ और $g (x) = {(x - 4)}^{- 3}$ है.

${(x + 4)}^{3} \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{- 3}] + {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{- 3}$ और $g (x) = x - 4$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $x - 4$ के रूप में सेट करें.

${(x + 4)}^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 3}] \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$

चरण 3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 3$ है.

${(x + 4)}^{3} (- 3 {u_{1}}^{- 4} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$

चरण 3.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $x - 4$ से बदलें.

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$

चरण 3.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ है.

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$

चरण 3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$

चरण 3.3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$

चरण 3.3.4

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.4.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4} \cdot 1) + {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$

चरण 3.3.4.2

$- 3$ को $1$ से गुणा करें.

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + {(x - 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} [{(x + 4)}^{3}]$

चरण 3.4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = x + 4$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $x + 4$ के रूप में सेट करें.

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + {(x - 4)}^{- 3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [x + 4])$

चरण 3.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + {(x - 4)}^{- 3} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])$

चरण 3.4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $x + 4$ से बदलें.

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + {(x - 4)}^{- 3} (3 {(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4])$

चरण 3.5

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$3$ को ${(x - 4)}^{- 3}$ के बाईं ओर ले जाएं.

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + 3 \cdot {(x - 4)}^{- 3} {(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 4]$

चरण 3.5.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ है.

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + 3 {(x - 4)}^{- 3} {(x + 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])$

चरण 3.5.3

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + 3 {(x - 4)}^{- 3} {(x + 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [4])$

चरण 3.5.4

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + 3 {(x - 4)}^{- 3} {(x + 4)}^{2} (1 + 0)$

चरण 3.5.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.5.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + 3 {(x - 4)}^{- 3} {(x + 4)}^{2} \cdot 1$

चरण 3.5.5.2

$3$ को $1$ से गुणा करें.

${(x + 4)}^{3} (- 3 {(x - 4)}^{- 4}) + 3 {(x - 4)}^{- 3} {(x + 4)}^{2}$

चरण 3.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

${(x + 4)}^{3} (- 3 \frac{1}{{(x - 4)}^{4}}) + 3 {(x - 4)}^{- 3} {(x + 4)}^{2}$

चरण 3.6.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

${(x + 4)}^{3} (- 3 \frac{1}{{(x - 4)}^{4}}) + 3 \frac{1}{{(x - 4)}^{3}} {(x + 4)}^{2}$

चरण 3.6.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.3.1

$- 3$ और $\frac{1}{{(x - 4)}^{4}}$ को मिलाएं.

${(x + 4)}^{3} \frac{- 3}{{(x - 4)}^{4}} + 3 \frac{1}{{(x - 4)}^{3}} {(x + 4)}^{2}$

चरण 3.6.3.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

${(x + 4)}^{3} (- \frac{3}{{(x - 4)}^{4}}) + 3 \frac{1}{{(x - 4)}^{3}} {(x + 4)}^{2}$

चरण 3.6.3.3

${(x + 4)}^{3}$ और $\frac{3}{{(x - 4)}^{4}}$ को मिलाएं.

$- \frac{{(x + 4)}^{3} \cdot 3}{{(x - 4)}^{4}} + 3 \frac{1}{{(x - 4)}^{3}} {(x + 4)}^{2}$

चरण 3.6.3.4

$3$ को ${(x + 4)}^{3}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$- \frac{3 \cdot {(x + 4)}^{3}}{{(x - 4)}^{4}} + 3 \frac{1}{{(x - 4)}^{3}} {(x + 4)}^{2}$

चरण 3.6.3.5

$3$ और $\frac{1}{{(x - 4)}^{3}}$ को मिलाएं.

$- \frac{3 {(x + 4)}^{3}}{{(x - 4)}^{4}} + \frac{3}{{(x - 4)}^{3}} {(x + 4)}^{2}$

चरण 3.6.3.6

$\frac{3}{{(x - 4)}^{3}}$ और ${(x + 4)}^{2}$ को मिलाएं.

$- \frac{3 {(x + 4)}^{3}}{{(x - 4)}^{4}} + \frac{3 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{3}}$

चरण 3.6.3.7

$\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{3}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{x - 4}{x - 4}$ से गुणा करें.

$- \frac{3 {(x + 4)}^{3}}{{(x - 4)}^{4}} + \frac{3 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{3}} \cdot \frac{x - 4}{x - 4}$

चरण 3.6.3.8

प्रत्येक व्यंजक को ${(x - 4)}^{4}$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.3.8.1

$\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{3}}$ को $\frac{x - 4}{x - 4}$ से गुणा करें.

$- \frac{3 {(x + 4)}^{3}}{{(x - 4)}^{4}} + \frac{3 {(x + 4)}^{2} (x - 4)}{{(x - 4)}^{3} (x - 4)}$

चरण 3.6.3.8.2

घातांक जोड़कर ${(x - 4)}^{3}$ को $x - 4$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.3.8.2.1

${(x - 4)}^{3}$ को $x - 4$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.3.8.2.1.1

$x - 4$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{3 {(x + 4)}^{3}}{{(x - 4)}^{4}} + \frac{3 {(x + 4)}^{2} (x - 4)}{{(x - 4)}^{3} {(x - 4)}^{1}}$

चरण 3.6.3.8.2.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{3 {(x + 4)}^{3}}{{(x - 4)}^{4}} + \frac{3 {(x + 4)}^{2} (x - 4)}{{(x - 4)}^{3 + 1}}$

चरण 3.6.3.8.2.2

$3$ और $1$ जोड़ें.

$- \frac{3 {(x + 4)}^{3}}{{(x - 4)}^{4}} + \frac{3 {(x + 4)}^{2} (x - 4)}{{(x - 4)}^{4}}$

चरण 3.6.3.9

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- 3 {(x + 4)}^{3} + 3 {(x + 4)}^{2} (x - 4)}{{(x - 4)}^{4}}$

चरण 3.6.4

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.4.1

$- 3 {(x + 4)}^{3} + 3 {(x + 4)}^{2} (x - 4)$ में से $3 {(x + 4)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.4.1.1

$- 3 {(x + 4)}^{3}$ में से $3 {(x + 4)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 {(x + 4)}^{2} (- (x + 4)) + 3 {(x + 4)}^{2} (x - 4)}{{(x - 4)}^{4}}$

चरण 3.6.4.1.2

$3 {(x + 4)}^{2} (- (x + 4)) + 3 {(x + 4)}^{2} (x - 4)$ में से $3 {(x + 4)}^{2}$ का गुणनखंड करें.

$\frac{3 {(x + 4)}^{2} (- (x + 4) + x - 4)}{{(x - 4)}^{4}}$

चरण 3.6.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{3 {(x + 4)}^{2} (- x - 1 \cdot 4 + x - 4)}{{(x - 4)}^{4}}$

चरण 3.6.4.3

$- 1$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{3 {(x + 4)}^{2} (- x - 4 + x - 4)}{{(x - 4)}^{4}}$

चरण 3.6.4.4

$- x$ और $x$ जोड़ें.

$\frac{3 {(x + 4)}^{2} (0 - 4 - 4)}{{(x - 4)}^{4}}$

चरण 3.6.4.5

$0$ में से $4$ घटाएं.

$\frac{3 {(x + 4)}^{2} (- 4 - 4)}{{(x - 4)}^{4}}$

चरण 3.6.4.6

$- 4$ में से $4$ घटाएं.

$\frac{3 {(x + 4)}^{2} \cdot - 8}{{(x - 4)}^{4}}$

चरण 3.6.4.7

$- 8$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{- 24 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

चरण 3.6.5

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{24 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$w' = - \frac{24 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$

चरण 5

$w'$ को $\frac{d w}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d w}{d x} = - \frac{24 {(x + 4)}^{2}}{{(x - 4)}^{4}}$