कैलकुलस उदाहरण

$v = (1 - t) {(1 + t^{2})}^{- 1}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d t} v' = \frac{d}{d t} ((1 - t) {(1 + t^{2})}^{- 1})$

चरण 2

$t$ के संबंध में $v'$ का व्युत्पन्न $v''$ है.

$v''$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ है, जहाँ $f (t) = 1 - t$ और $g (t) = {(1 + t^{2})}^{- 1}$ है.

$(1 - t) \frac{d}{d t} [{(1 + t^{2})}^{- 1}] + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = t^{- 1}$ और $g (t) = 1 + t^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $1 + t^{2}$ के रूप में सेट करें.

$(1 - t) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

चरण 3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$(1 - t) (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

चरण 3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $1 + t^{2}$ से बदलें.

$(1 - t) (- {(1 + t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + t^{2}]) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

चरण 3.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $1 + t^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ है.

$(1 - t) (- {(1 + t^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [t^{2}])) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

चरण 3.3.2

चूंकि $t$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(1 - t) (- {(1 + t^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [t^{2}])) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

चरण 3.3.3

$0$ और $\frac{d}{d t} [t^{2}]$ जोड़ें.

$(1 - t) (- {(1 + t^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [t^{2}]) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

चरण 3.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$(1 - t) (- {(1 + t^{2})}^{- 2} (2 t)) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

चरण 3.3.5

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [1 - t]$

चरण 3.3.6

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $1 - t$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t]$ है.

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t])$

चरण 3.3.7

चूंकि $t$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} (0 + \frac{d}{d t} [- t])$

चरण 3.3.8

$0$ और $\frac{d}{d t} [- t]$ जोड़ें.

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \frac{d}{d t} [- t]$

चरण 3.3.9

चूंकि $- 1$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $- t$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d t} [t]$ है.

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} (- \frac{d}{d t} [t])$

चरण 3.3.10

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} (- 1 \cdot 1)$

चरण 3.3.11

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.11.1

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) + {(1 + t^{2})}^{- 1} \cdot - 1$

चरण 3.3.11.2

$- 1$ को ${(1 + t^{2})}^{- 1}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) - 1 \cdot {(1 + t^{2})}^{- 1}$

चरण 3.3.11.3

$- 1 {(1 + t^{2})}^{- 1}$ को $- {(1 + t^{2})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$(1 - t) (- 2 {(1 + t^{2})}^{- 2} t) - {(1 + t^{2})}^{- 1}$

चरण 3.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$(1 - t) (- 2 \frac{1}{{(1 + t^{2})}^{2}} t) - {(1 + t^{2})}^{- 1}$

चरण 3.4.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$(1 - t) (- 2 \frac{1}{{(1 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{1 + t^{2}}$

चरण 3.4.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1

$- 2$ और $\frac{1}{{(1 + t^{2})}^{2}}$ को मिलाएं.

$(1 - t) (\frac{- 2}{{(1 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{1 + t^{2}}$

चरण 3.4.3.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$(1 - t) (- \frac{2}{{(1 + t^{2})}^{2}} t) - \frac{1}{1 + t^{2}}$

चरण 3.4.3.3

$t$ और $\frac{2}{{(1 + t^{2})}^{2}}$ को मिलाएं.

$(1 - t) (- \frac{t \cdot 2}{{(1 + t^{2})}^{2}}) - \frac{1}{1 + t^{2}}$

चरण 3.4.3.4

$2$ को $t$ के बाईं ओर ले जाएं.

$(1 - t) (- \frac{2 \cdot t}{{(1 + t^{2})}^{2}}) - \frac{1}{1 + t^{2}}$

चरण 3.4.3.5

$(1 - t) (- \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}})$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{1 + t^{2}}{1 + t^{2}}$ से गुणा करें.

$(1 - t) (- \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}}) \cdot \frac{1 + t^{2}}{1 + t^{2}} - \frac{1}{1 + t^{2}}$

चरण 3.4.3.6

$(1 - t) (- \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}})$ और $\frac{1 + t^{2}}{1 + t^{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{(1 - t) (- \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}}) (1 + t^{2})}{1 + t^{2}} - \frac{1}{1 + t^{2}}$

चरण 3.4.3.7

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{(1 - t) (- \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}}) (1 + t^{2}) - 1}{1 + t^{2}}$

चरण 3.4.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{- (1 + t^{2}) (1 - t) \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 1}$

चरण 3.4.5

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.1

$- (1 + t^{2}) (1 - t) \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}} - 1$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.1.1

व्यंजक को पुन: व्यवस्थित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.1.1.1

$1$ और $t^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{- (t^{2} + 1) (1 - t) \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 1}$

चरण 3.4.5.1.1.2

$1$ और $- t$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{- (t^{2} + 1) (- t + 1) \frac{2 t}{{(1 + t^{2})}^{2}} - 1}{t^{2} + 1}$

चरण 3.4.5.1.1.3

$1$ और $t^{2}$ को पुन: क्रमित करें.

$\frac{- (t^{2} + 1) (- t + 1) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}} - 1}{t^{2} + 1}$

चरण 3.4.5.1.2

$- (t^{2} + 1) (- t + 1) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (((t^{2} + 1) (- t + 1)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}) - 1}{t^{2} + 1}$

चरण 3.4.5.1.3

$- 1$ को $- 1 (1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- (((t^{2} + 1) (- t + 1)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}) - 1 (1)}{t^{2} + 1}$

चरण 3.4.5.1.4

$- (((t^{2} + 1) (- t + 1)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}}) - 1 (1)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (((t^{2} + 1) (- t + 1)) \frac{2 t}{{(t^{2} + 1)}^{2}} + 1)}{t^{2} + 1}$

चरण 3.4.5.2

$t^{2} + 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.2.1

${(t^{2} + 1)}^{2}$ में से $t^{2} + 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- ((t^{2} + 1) (- t + 1) \frac{2 t}{(t^{2} + 1) (t^{2} + 1)} + 1)}{t^{2} + 1}$

चरण 3.4.5.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{- ((t^{2} + 1) (- t + 1) \frac{2 t}{(t^{2} + 1) (t^{2} + 1)} + 1)}{t^{2} + 1}$

चरण 3.4.5.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- ((- t + 1) \frac{2 t}{t^{2} + 1} + 1)}{t^{2} + 1}$

चरण 3.4.5.3

$- t + 1$ को $\frac{2 t}{t^{2} + 1}$ से गुणा करें.

$\frac{- (\frac{(- t + 1) (2 t)}{t^{2} + 1} + 1)}{t^{2} + 1}$

चरण 3.4.5.4

$2$ को $- t + 1$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{- (\frac{2 \cdot (- t + 1) t}{t^{2} + 1} + 1)}{t^{2} + 1}$

चरण 3.4.5.5

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{- (\frac{2 (- t + 1) t}{t^{2} + 1} + \frac{t^{2} + 1}{t^{2} + 1})}{t^{2} + 1}$

चरण 3.4.5.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{- \frac{2 (- t + 1) t + t^{2} + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

चरण 3.4.5.7

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 t (- t + 1) + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

चरण 3.4.5.8

$\frac{t^{2} + 2 t (- t + 1) + 1}{t^{2} + 1}$ को गुणनखंड रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.8.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 t (- t) + 2 t \cdot 1 + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

चरण 3.4.5.8.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t \cdot t + 2 t \cdot 1 + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

चरण 3.4.5.8.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t \cdot t + 2 t + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

चरण 3.4.5.8.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.8.4.1

घातांक जोड़कर $t$ को $t$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.8.4.1.1

$t$ ले जाएं.

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 (t \cdot t) + 2 t + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

चरण 3.4.5.8.4.1.2

$t$ को $t$ से गुणा करें.

$\frac{- \frac{t^{2} + 2 \cdot - 1 t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

चरण 3.4.5.8.4.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{- \frac{t^{2} - 2 t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

चरण 3.4.5.8.5

$t^{2}$ में से $2 t^{2}$ घटाएं.

$\frac{- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1}}{t^{2} + 1}$

चरण 3.4.6

भाजक के प्रतिलोम से न्यूमेरेटर को गुणा करें.

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1} \cdot \frac{1}{t^{2} + 1}$

चरण 3.4.7

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1} \cdot \frac{1}{t^{2} + 1}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.7.1

$\frac{1}{t^{2} + 1}$ को $\frac{- t^{2} + 2 t + 1}{t^{2} + 1}$ से गुणा करें.

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{(t^{2} + 1) (t^{2} + 1)}$

चरण 3.4.7.2

$t^{2} + 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{1} (t^{2} + 1)}$

चरण 3.4.7.3

$t^{2} + 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{1} {(t^{2} + 1)}^{1}}$

चरण 3.4.7.4

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{1 + 1}}$

चरण 3.4.7.5

$1$ और $1$ जोड़ें.

$- \frac{- t^{2} + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.4.8

$- t^{2}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{- (t^{2}) + 2 t + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.4.9

$2 t$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{- (t^{2}) - (- 2 t) + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.4.10

$- (t^{2}) - (- 2 t)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{- (t^{2} - 2 t) + 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.4.11

$1$ को $- 1 (- 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{- (t^{2} - 2 t) - 1 (- 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.4.12

$- (t^{2} - 2 t) - 1 (- 1)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$- \frac{- (t^{2} - 2 t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.4.13

$- (t^{2} - 2 t - 1)$ को $- 1 (t^{2} - 2 t - 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$- \frac{- 1 (t^{2} - 2 t - 1)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.4.14

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- - \frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.4.15

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$1 \frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 3.4.16

$\frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$v'' = \frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$

चरण 5

$v'$ को $\frac{d v}{d t}$ से बदलें.

$\frac{d v}{d t} = \frac{t^{2} - 2 t - 1}{{(t^{2} + 1)}^{2}}$