कैलकुलस उदाहरण

$P = \frac{40}{1 + 11 e^{- 0.08 t}}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d t} (P) = \frac{d}{d t} (\frac{40}{1 + 11 e^{- 0.08 t}})$

चरण 2

$t$ के संबंध में $P$ का व्युत्पन्न $P'$ है.

$P'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

चूंकि $40$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $\frac{40}{1 + 11 e^{- 0.08 t}}$ का व्युत्पन्न $40 \frac{d}{d t} [\frac{1}{1 + 11 e^{- 0.08 t}}]$ है.

$40 \frac{d}{d t} [\frac{1}{1 + 11 e^{- 0.08 t}}]$

चरण 3.1.2

$\frac{1}{1 + 11 e^{- 0.08 t}}$ को ${(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$40 \frac{d}{d t} [{(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 1}]$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = t^{- 1}$ और $g (t) = 1 + 11 e^{- 0.08 t}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $1 + 11 e^{- 0.08 t}$ के रूप में सेट करें.

$40 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [1 + 11 e^{- 0.08 t}])$

चरण 3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$40 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 11 e^{- 0.08 t}])$

चरण 3.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $1 + 11 e^{- 0.08 t}$ से बदलें.

$40 (- {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 11 e^{- 0.08 t}])$

चरण 3.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$- 1$ को $40$ से गुणा करें.

$- 40 ({(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 11 e^{- 0.08 t}])$

चरण 3.3.2

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $1 + 11 e^{- 0.08 t}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [11 e^{- 0.08 t}]$ है.

$- 40 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [11 e^{- 0.08 t}])$

चरण 3.3.3

चूंकि $t$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- 40 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [11 e^{- 0.08 t}])$

चरण 3.3.4

$0$ और $\frac{d}{d t} [11 e^{- 0.08 t}]$ जोड़ें.

$- 40 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [11 e^{- 0.08 t}]$

चरण 3.3.5

चूंकि $11$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $11 e^{- 0.08 t}$ का व्युत्पन्न $11 \frac{d}{d t} [e^{- 0.08 t}]$ है.

$- 40 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} (11 \frac{d}{d t} [e^{- 0.08 t}])$

चरण 3.3.6

$11$ को $- 40$ से गुणा करें.

$- 440 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [e^{- 0.08 t}]$

चरण 3.4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = e^{t}$ और $g (t) = - 0.08 t$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $- 0.08 t$ के रूप में सेट करें.

$- 440 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- 0.08 t])$

चरण 3.4.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$- 440 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- 0.08 t])$

चरण 3.4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $- 0.08 t$ से बदलें.

$- 440 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} (e^{- 0.08 t} \frac{d}{d t} [- 0.08 t])$

चरण 3.5

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

चूंकि $- 0.08$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $- 0.08 t$ का व्युत्पन्न $- 0.08 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$- 440 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} (e^{- 0.08 t} (- 0.08 \frac{d}{d t} [t]))$

चरण 3.5.2

$- 0.08$ को $- 440$ से गुणा करें.

$35.2 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} (e^{- 0.08 t} (\frac{d}{d t} [t]))$

चरण 3.5.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$35.2 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} (e^{- 0.08 t} \cdot 1)$

चरण 3.5.4

$e^{- 0.08 t}$ को $1$ से गुणा करें.

$35.2 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} e^{- 0.08 t}$

चरण 3.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

$35.2 {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2} e^{- 0.08 t}$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$35.2 e^{- 0.08 t} {(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{- 2}$

चरण 3.6.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$35.2 e^{- 0.08 t} \frac{1}{{(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{2}}$

चरण 3.6.3

$35.2 e^{- 0.08 t} \frac{1}{{(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{2}}$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.3.1

$\frac{1}{{(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{2}}$ और $35.2$ को मिलाएं.

$\frac{35.2}{{(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{2}} e^{- 0.08 t}$

चरण 3.6.3.2

$\frac{35.2}{{(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{2}}$ और $e^{- 0.08 t}$ को मिलाएं.

$\frac{35.2 e^{- 0.08 t}}{{(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{2}}$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$P' = \frac{35.2 e^{- 0.08 t}}{{(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{2}}$

चरण 5

$P'$ को $\frac{d P}{d t}$ से बदलें.

$\frac{d P}{d t} = \frac{35.2 e^{- 0.08 t}}{{(1 + 11 e^{- 0.08 t})}^{2}}$