कैलकुलस उदाहरण

$r = \sin (θ^{2}) \cos (6 θ)$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d θ} (r) = \frac{d}{d θ} (\sin (θ^{2}) \cos (6 θ))$

चरण 2

$θ$ के संबंध में $r$ का व्युत्पन्न $r'$ है.

$r'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d θ} [f (θ) g (θ)]$ $f (θ) \frac{d}{d θ} [g (θ)] + g (θ) \frac{d}{d θ} [f (θ)]$ है, जहाँ $f (θ) = \sin (θ^{2})$ और $g (θ) = \cos (6 θ)$ है.

$\sin (θ^{2}) \frac{d}{d θ} [\cos (6 θ)] + \cos (6 θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ^{2})]$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ $f' (g (θ)) g' (θ)$ है, जहाँ $f (θ) = \cos (θ)$ और $g (θ) = 6 θ$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $6 θ$ के रूप में सेट करें.

$\sin (θ^{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d θ} [6 θ]) + \cos (6 θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ^{2})]$

चरण 3.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\cos (u_{1})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{1})$ है.

$\sin (θ^{2}) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d θ} [6 θ]) + \cos (6 θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ^{2})]$

चरण 3.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $6 θ$ से बदलें.

$\sin (θ^{2}) (- \sin (6 θ) \frac{d}{d θ} [6 θ]) + \cos (6 θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ^{2})]$

चरण 3.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चूंकि $6$ , $θ$ के संबंध में स्थिर है, $θ$ के संबंध में $6 θ$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d θ} [θ]$ है.

$\sin (θ^{2}) (- \sin (6 θ) (6 \frac{d}{d θ} [θ])) + \cos (6 θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ^{2})]$

चरण 3.3.2

$6$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\sin (θ^{2}) (- 6 \sin (6 θ) \frac{d}{d θ} [θ]) + \cos (6 θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ^{2})]$

चरण 3.3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ $n θ^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\sin (θ^{2}) (- 6 \sin (6 θ) \cdot 1) + \cos (6 θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ^{2})]$

चरण 3.3.4

$- 6$ को $1$ से गुणा करें.

$\sin (θ^{2}) (- 6 \sin (6 θ)) + \cos (6 θ) \frac{d}{d θ} [\sin (θ^{2})]$

चरण 3.4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ $f' (g (θ)) g' (θ)$ है, जहाँ $f (θ) = \sin (θ)$ और $g (θ) = θ^{2}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $θ^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\sin (θ^{2}) (- 6 \sin (6 θ)) + \cos (6 θ) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d θ} [θ^{2}])$

चरण 3.4.2

$u_{2}$ के संबंध में $\sin (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\cos (u_{2})$ है.

$\sin (θ^{2}) (- 6 \sin (6 θ)) + \cos (6 θ) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d θ} [θ^{2}])$

चरण 3.4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $θ^{2}$ से बदलें.

$\sin (θ^{2}) (- 6 \sin (6 θ)) + \cos (6 θ) (\cos (θ^{2}) \frac{d}{d θ} [θ^{2}])$

चरण 3.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ $n θ^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\sin (θ^{2}) (- 6 \sin (6 θ)) + \cos (6 θ) \cos (θ^{2}) (2 θ)$

चरण 3.5.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- 6 \sin (θ^{2}) \sin (6 θ) + 2 θ \cos (θ^{2}) \cos (6 θ)$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$r' = - 6 \sin (θ^{2}) \sin (6 θ) + 2 θ \cos (θ^{2}) \cos (6 θ)$

चरण 5

$r'$ को $\frac{d r}{d θ}$ से बदलें.

$\frac{d r}{d θ} = - 6 \sin (θ^{2}) \sin (6 θ) + 2 θ \cos (θ^{2}) \cos (6 θ)$