कैलकुलस उदाहरण

$x \ln (3 y) = 5 x y^{3}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (x \ln (3 y)) = \frac{d}{d x} (5 x y^{3})$

चरण 2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = \ln (3 y)$ है.

$x \frac{d}{d x} [\ln (3 y)] + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = 3 y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $3 y$ के रूप में सेट करें.

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 y]) + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.2.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 y]) + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $3 y$ से बदलें.

$x (\frac{1}{3 y} \frac{d}{d x} [3 y]) + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

$\frac{1}{3 y}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{x}{3 y} \frac{d}{d x} [3 y] + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.2

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 y$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [y]$ है.

$\frac{x}{3 y} (3 \frac{d}{d x} [y]) + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.3

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.1

$3$ और $\frac{x}{3 y}$ को मिलाएं.

$\frac{3 x}{3 y} \frac{d}{d x} [y] + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.3.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.3.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 x}{3 y} \frac{d}{d x} [y] + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.3.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x}{y} \frac{d}{d x} [y] + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{x}{y} y' + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.5

$\frac{x}{y}$ और $y'$ को मिलाएं.

$\frac{x y'}{y} + \ln (3 y) \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{x y'}{y} + \ln (3 y) \cdot 1$

चरण 2.7

$\ln (3 y)$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x y'}{y} + \ln (3 y)$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x y^{3}$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ है.

$5 \frac{d}{d x} [x y^{3}]$

चरण 3.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = y^{3}$ है.

$5 (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$5 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$5 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$5 (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.4

$3$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$5 (3 \cdot x y^{2} \frac{d}{d x} [y] + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.5

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$5 (3 x y^{2} y' + y^{3} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.6

$5 (3 x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1)$

चरण 3.7

$y^{3}$ को $1$ से गुणा करें.

$5 (3 x y^{2} y' + y^{3})$

चरण 3.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$5 (3 x y^{2} y') + 5 y^{3}$

चरण 3.8.2

$3$ को $5$ से गुणा करें.

$15 x y^{2} y' + 5 y^{3}$

चरण 3.8.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$5 y^{3} + 15 y^{2} x y'$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$\frac{x y'}{y} + \ln (3 y) = 5 y^{3} + 15 y^{2} x y'$

चरण 5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $15 y^{2} x y'$ घटाएं.

$\frac{x y'}{y} + \ln (3 y) - 15 y^{2} x y' = 5 y^{3}$

चरण 5.2

समीकरण के पदों का LCD पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

मान की एक सूची के LCD को पता करना उन मान के भाजक के LCM को पता करने के समान है.

$y, 1, 1, 1$

चरण 5.2.2

एक और किसी भी व्यंजक का LCM (लघुत्तम समापवर्तक) व्यंजक है.

$y$

चरण 5.3

भिन्नों को हटाने के लिए $\frac{x y'}{y} + \ln (3 y) - 15 y^{2} x y' = 5 y^{3}$ के प्रत्येक पद को $y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$\frac{x y'}{y} + \ln (3 y) - 15 y^{2} x y' = 5 y^{3}$ के प्रत्येक पद को $y$ से गुणा करें.

$\frac{x y'}{y} y + \ln (3 y) y - 15 y^{2} x y' y = 5 y^{3} y$

चरण 5.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1.1

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x y'}{y} y + \ln (3 y) y - 15 y^{2} x y' y = 5 y^{3} y$

चरण 5.3.2.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x y' + \ln (3 y) y - 15 y^{2} x y' y = 5 y^{3} y$

चरण 5.3.2.1.2

घातांक जोड़कर $y^{2}$ को $y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1.2.1

$y$ ले जाएं.

$x y' + \ln (3 y) y - 15 (y \cdot y^{2}) x y' = 5 y^{3} y$

चरण 5.3.2.1.2.2

$y$ को $y^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1.2.2.1

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x y' + \ln (3 y) y - 15 (y^{1} y^{2}) x y' = 5 y^{3} y$

चरण 5.3.2.1.2.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x y' + \ln (3 y) y - 15 y^{1 + 2} x y' = 5 y^{3} y$

चरण 5.3.2.1.2.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$x y' + \ln (3 y) y - 15 y^{3} x y' = 5 y^{3} y$

चरण 5.3.2.2

गुणनखंडों को $x y' + \ln (3 y) y - 15 y^{3} x y'$ में पुन: क्रमित करें.

$x y' + y \ln (3 y) - 15 y^{3} x y' = 5 y^{3} y$

चरण 5.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

घातांक जोड़कर $y^{3}$ को $y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1.1

$y$ ले जाएं.

$x y' + y \ln (3 y) - 15 y^{3} x y' = 5 (y \cdot y^{3})$

चरण 5.3.3.1.2

$y$ को $y^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1.2.1

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x y' + y \ln (3 y) - 15 y^{3} x y' = 5 (y^{1} y^{3})$

चरण 5.3.3.1.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x y' + y \ln (3 y) - 15 y^{3} x y' = 5 y^{1 + 3}$

चरण 5.3.3.1.3

$1$ और $3$ जोड़ें.

$x y' + y \ln (3 y) - 15 y^{3} x y' = 5 y^{4}$

चरण 5.4

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $y \ln (3 y)$ घटाएं.

$x y' - 15 y^{3} x y' = 5 y^{4} - y \ln (3 y)$

चरण 5.4.2

$x y' - 15 y^{3} x y'$ में से $x y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1

$x y'$ में से $x y'$ का गुणनखंड करें.

$x y' \cdot 1 - 15 y^{3} x y' = 5 y^{4} - y \ln (3 y)$

चरण 5.4.2.2

$- 15 y^{3} x y'$ में से $x y'$ का गुणनखंड करें.

$x y' \cdot 1 + x y' (- 15 y^{3}) = 5 y^{4} - y \ln (3 y)$

चरण 5.4.2.3

$x y' \cdot 1 + x y' (- 15 y^{3})$ में से $x y'$ का गुणनखंड करें.

$x y' (1 - 15 y^{3}) = 5 y^{4} - y \ln (3 y)$

चरण 5.4.3

$x y' (1 - 15 y^{3}) = 5 y^{4} - y \ln (3 y)$ के प्रत्येक पद को $x (1 - 15 y^{3})$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.1

$x y' (1 - 15 y^{3}) = 5 y^{4} - y \ln (3 y)$ के प्रत्येक पद को $x (1 - 15 y^{3})$ से विभाजित करें.

$\frac{x y' (1 - 15 y^{3})}{x (1 - 15 y^{3})} = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} + \frac{- y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$

चरण 5.4.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.2.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x y' (1 - 15 y^{3})}{x (1 - 15 y^{3})} = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} + \frac{- y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$

चरण 5.4.3.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y' (1 - 15 y^{3})}{1 - 15 y^{3}} = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} + \frac{- y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$

चरण 5.4.3.2.2

$1 - 15 y^{3}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (1 - 15 y^{3})}{1 - 15 y^{3}} = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} + \frac{- y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$

चरण 5.4.3.2.2.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} + \frac{- y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$

चरण 5.4.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} - \frac{y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 y^{4}}{x (1 - 15 y^{3})} - \frac{y \ln (3 y)}{x (1 - 15 y^{3})}$