कैलकुलस उदाहरण

$\ln (y) = 7 x \ln (\sqrt{x})$

चरण 1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$\ln (y) = 7 x \ln (x^{\frac{1}{2}})$

चरण 2

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (\ln (y)) = \frac{d}{d x} (7 x \ln (x^{\frac{1}{2}}))$

चरण 3

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

चरण 3.1.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

चरण 3.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

चरण 3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{1}{y} y'$

चरण 3.3

$\frac{1}{y}$ और $y'$ को मिलाएं.

$\frac{y'}{y}$

चरण 4

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चूंकि $7$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $7 x \ln (x^{\frac{1}{2}})$ का व्युत्पन्न $7 \frac{d}{d x} [x \ln (x^{\frac{1}{2}})]$ है.

$7 \frac{d}{d x} [x \ln (x^{\frac{1}{2}})]$

चरण 4.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = \ln (x^{\frac{1}{2}})$ है.

$7 (x \frac{d}{d x} [\ln (x^{\frac{1}{2}})] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में सेट करें.

$7 (x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.3.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$7 (x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{\frac{1}{2}}$ से बदलें.

$7 (x (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.4

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ और $x$ को मिलाएं.

$7 (\frac{x}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.5

ऋणात्मक घातांक नियम $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ का उपयोग करके $x^{\frac{1}{2}}$ को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$7 (x \cdot x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.6

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1

$x$ को $x^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$7 (x^{1} x^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.6.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$7 (x^{1 - \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.6.2

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$7 (x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.6.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$7 (x^{\frac{2 - 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.6.4

$2$ में से $1$ घटाएं.

$7 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.7

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.8

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.9

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.10

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.11

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.11.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.11.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.12

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$7 (x^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.13

$\frac{1}{2}$ और $x^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$7 (x^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.14

$x^{\frac{1}{2}}$ और $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ को मिलाएं.

$7 (\frac{x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.15

घातांक जोड़कर $x^{\frac{1}{2}}$ को $x^{- \frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.15.1

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$7 (\frac{x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.15.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$7 (\frac{x^{\frac{1 - 1}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.15.3

$1$ में से $1$ घटाएं.

$7 (\frac{x^{\frac{0}{2}}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.15.4

$0$ को $2$ से विभाजित करें.

$7 (\frac{x^{0}}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.16

$x^{0}$ को सरल करें.

$7 (\frac{1}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [x])$

चरण 4.17

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$7 (\frac{1}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}) \cdot 1)$

चरण 4.18

$\ln (x^{\frac{1}{2}})$ को $1$ से गुणा करें.

$7 (\frac{1}{2} + \ln (x^{\frac{1}{2}}))$

चरण 4.19

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.19.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$7 (\frac{1}{2}) + 7 \ln (x^{\frac{1}{2}})$

चरण 4.19.2

$7$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{7}{2} + 7 \ln (x^{\frac{1}{2}})$

चरण 4.19.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}$

चरण 5

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$\frac{y'}{y} = 7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}$

चरण 6

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

दोनों पक्षों को $y$ से गुणा करें.

$\frac{y'}{y} y = (7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}) y$

चरण 6.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y'}{y} y = (7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}) y$

चरण 6.2.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = (7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}) y$

चरण 6.2.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1

$(7 \ln (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{7}{2}) y$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1.1.1

$7$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $7 \ln (x^{\frac{1}{2}})$ को सरल करें.

$y' = (\ln ({(x^{\frac{1}{2}})}^{7}) + \frac{7}{2}) y$

चरण 6.2.2.1.1.2

घातांक को ${(x^{\frac{1}{2}})}^{7}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1.1.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = (\ln (x^{\frac{1}{2} \cdot 7}) + \frac{7}{2}) y$

चरण 6.2.2.1.1.2.2

$\frac{1}{2}$ और $7$ को मिलाएं.

$y' = (\ln (x^{\frac{7}{2}}) + \frac{7}{2}) y$

चरण 6.2.2.1.2

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.2.1.2.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y' = \ln (x^{\frac{7}{2}}) y + \frac{7}{2} y$

चरण 6.2.2.1.2.2

$\frac{7}{2}$ और $y$ को मिलाएं.

$y' = \ln (x^{\frac{7}{2}}) y + \frac{7 y}{2}$

चरण 6.2.2.1.2.3

गुणनखंडों को $\ln (x^{\frac{7}{2}}) y + \frac{7 y}{2}$ में पुन: क्रमित करें.

$y' = y \ln (x^{\frac{7}{2}}) + \frac{7 y}{2}$

चरण 7

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = y \ln (x^{\frac{7}{2}}) + \frac{7 y}{2}$