कैलकुलस उदाहरण

${(x^{2} - y^{2})}^{3} = 3 a^{4} x^{2}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d a} ({(x^{2} - y^{2})}^{3}) = \frac{d}{d a} (3 a^{4} x^{2})$

चरण 2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

द्विपद प्रमेय का प्रयोग करें.

$\frac{d}{d a} [{(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} (- y^{2}) + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

चरण 2.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

घातांक को ${(x^{2})}^{3}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d a} [x^{2 \cdot 3} + 3 {(x^{2})}^{2} (- y^{2}) + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

चरण 2.2.1.1.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d a} [x^{6} + 3 {(x^{2})}^{2} (- y^{2}) + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

चरण 2.2.1.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{d}{d a} [x^{6} + 3 \cdot - 1 {(x^{2})}^{2} y^{2} + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

चरण 2.2.1.3

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 {(x^{2})}^{2} y^{2} + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

चरण 2.2.1.4

घातांक को ${(x^{2})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.4.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{2 \cdot 2} y^{2} + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

चरण 2.2.1.4.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} {(- y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

चरण 2.2.1.5

उत्पाद नियम को $- y^{2}$ पर लागू करें.

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} ({(- 1)}^{2} {(y^{2})}^{2}) + {(- y^{2})}^{3}]$

चरण 2.2.1.6

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 \cdot {(- 1)}^{2} x^{2} {(y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

चरण 2.2.1.7

$- 1$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 \cdot 1 x^{2} {(y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

चरण 2.2.1.8

$3$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} {(y^{2})}^{2} + {(- y^{2})}^{3}]$

चरण 2.2.1.9

घातांक को ${(y^{2})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.9.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{2 \cdot 2} + {(- y^{2})}^{3}]$

चरण 2.2.1.9.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} + {(- y^{2})}^{3}]$

चरण 2.2.1.10

उत्पाद नियम को $- y^{2}$ पर लागू करें.

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} + {(- 1)}^{3} {(y^{2})}^{3}]$

चरण 2.2.1.11

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} - {(y^{2})}^{3}]$

चरण 2.2.1.12

घातांक को ${(y^{2})}^{3}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.12.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} - y^{2 \cdot 3}]$

चरण 2.2.1.12.2

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{d}{d a} [x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} - y^{6}]$

चरण 2.2.2

योग नियम के अनुसार, $a$ के संबंध में $x^{6} - 3 x^{4} y^{2} + 3 x^{2} y^{4} - y^{6}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d a} [x^{6}] + \frac{d}{d a} [- 3 x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$ है.

$\frac{d}{d a} [x^{6}] + \frac{d}{d a} [- 3 x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

चरण 2.2.3

चूंकि $a$ के संबंध में $x^{6}$ स्थिर है, $a$ के संबंध में $x^{6}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0 + \frac{d}{d a} [- 3 x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

चरण 2.2.4

$0$ और $\frac{d}{d a} [- 3 x^{4} y^{2}]$ जोड़ें.

$\frac{d}{d a} [- 3 x^{4} y^{2}] + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

चरण 2.2.5

चूंकि $- 3 x^{4}$ , $a$ के संबंध में स्थिर है, $a$ के संबंध में $- 3 x^{4} y^{2}$ का व्युत्पन्न $- 3 x^{4} \frac{d}{d a} [y^{2}]$ है.

$- 3 x^{4} \frac{d}{d a} [y^{2}] + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

चरण 2.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ $f' (g (a)) g' (a)$ है, जहाँ $f (a) = a^{2}$ और $g (a) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$- 3 x^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

चरण 2.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$- 3 x^{4} (2 u_{1} \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

चरण 2.3.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$- 3 x^{4} (2 y \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

चरण 2.4

$2$ को $- 3$ से गुणा करें.

$- 6 x^{4} (y \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

चरण 2.5

$\frac{d}{d a} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 6 x^{4} y y' + \frac{d}{d a} [3 x^{2} y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

चरण 2.6

चूंकि $3 x^{2}$ , $a$ के संबंध में स्थिर है, $a$ के संबंध में $3 x^{2} y^{4}$ का व्युत्पन्न $3 x^{2} \frac{d}{d a} [y^{4}]$ है.

$- 6 x^{4} y y' + 3 x^{2} \frac{d}{d a} [y^{4}] + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

चरण 2.7

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ $f' (g (a)) g' (a)$ है, जहाँ $f (a) = a^{4}$ और $g (a) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.7.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$- 6 x^{4} y y' + 3 x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

चरण 2.7.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$- 6 x^{4} y y' + 3 x^{2} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

चरण 2.7.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$- 6 x^{4} y y' + 3 x^{2} (4 y^{3} \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

चरण 2.8

$4$ को $3$ से गुणा करें.

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} (y^{3} \frac{d}{d a} [y]) + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

चरण 2.9

$\frac{d}{d a} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' + \frac{d}{d a} [- y^{6}]$

चरण 2.10

चूंकि $- 1$ , $a$ के संबंध में स्थिर है, $a$ के संबंध में $- y^{6}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d a} [y^{6}]$ है.

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - \frac{d}{d a} [y^{6}]$

चरण 2.11

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ $f' (g (a)) g' (a)$ है, जहाँ $f (a) = a^{6}$ और $g (a) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.11.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{3}$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{6}] \frac{d}{d a} [y])$

चरण 2.11.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ $n {u_{3}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 6$ है.

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - (6 {u_{3}}^{5} \frac{d}{d a} [y])$

चरण 2.11.3

$u_{3}$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - (6 y^{5} \frac{d}{d a} [y])$

चरण 2.12

$6$ को $- 1$ से गुणा करें.

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - 6 (y^{5} \frac{d}{d a} [y])$

चरण 2.13

$\frac{d}{d a} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$- 6 x^{4} y y' + 12 x^{2} y^{3} y' - 6 y^{5} y'$

चरण 2.14

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- 6 x^{4} y y' + 12 y^{3} x^{2} y' - 6 y^{5} y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चूंकि $3 x^{2}$ , $a$ के संबंध में स्थिर है, $a$ के संबंध में $3 a^{4} x^{2}$ का व्युत्पन्न $3 x^{2} \frac{d}{d a} [a^{4}]$ है.

$3 x^{2} \frac{d}{d a} [a^{4}]$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ $n a^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 4$ है.

$3 x^{2} (4 a^{3})$

चरण 3.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

$4$ को $3$ से गुणा करें.

$12 x^{2} a^{3}$

चरण 3.3.2

$12 x^{2} a^{3}$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$12 a^{3} x^{2}$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$- 6 x^{4} y y' + 12 y^{3} x^{2} y' - 6 y^{5} y' = 12 a^{3} x^{2}$

चरण 5

$y'$ को $\frac{d y}{d a}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d a} = 12 a^{3} x^{2}$