कैलकुलस उदाहरण

$\frac{y}{y - x} = x^{2} - 1$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (\frac{y}{y - x}) = \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

चरण 2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = y$ और $g (x) = y - x$ है.

$\frac{(y - x) \frac{d}{d x} [y] - y \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{(y - x) y' - y \frac{d}{d x} [y - x]}{{(y - x)}^{2}}$

चरण 2.3

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $y - x$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x]$ है.

$\frac{(y - x) y' - y (\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(y - x)}^{2}}$

चरण 2.4

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{(y - x) y' - y (y' + \frac{d}{d x} [- x])}{{(y - x)}^{2}}$

चरण 2.5

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{(y - x) y' - y (y' - \frac{d}{d x} [x])}{{(y - x)}^{2}}$

चरण 2.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(y - x) y' - y (y' - 1 \cdot 1)}{{(y - x)}^{2}}$

चरण 2.7

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(y - x) y' - y (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

चरण 2.8

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{y y' - x y' - y (y' - 1)}{{(y - x)}^{2}}$

चरण 2.8.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{y y' - x y' - y y' - y \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

चरण 2.8.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.3.1

$y y' - x y' - y y' - y \cdot - 1$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.3.1.1

$y y'$ में से $y y'$ घटाएं.

$\frac{- x y' + 0 - y \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

चरण 2.8.3.1.2

$- x y'$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{- x y' - y \cdot - 1}{{(y - x)}^{2}}$

चरण 2.8.3.2

$- y \cdot - 1$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.8.3.2.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{- x y' + 1 y}{{(y - x)}^{2}}$

चरण 2.8.3.2.2

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- x y' + y}{{(y - x)}^{2}}$

चरण 2.8.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{- x y' + y}{{(- x + y)}^{2}}$

चरण 2.8.5

$- x y'$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (x y') + y}{{(- x + y)}^{2}}$

चरण 2.8.6

$y$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (x y') - 1 (- y)}{{(- x + y)}^{2}}$

चरण 2.8.7

$- (x y') - 1 (- y)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (x y' - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

चरण 2.8.8

$- (x y' - y)$ को $- 1 (x y' - y)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- 1 (x y' - y)}{{(- x + y)}^{2}}$

चरण 2.8.9

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}}$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 x + 0$

चरण 3.4

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$2 x$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = 2 x$

चरण 5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = 2 x$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

$- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = 2 x$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- \frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}}}{- 1} = \frac{2 x}{- 1}$

चरण 5.1.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}}}{1} = \frac{2 x}{- 1}$

चरण 5.1.2.2

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = \frac{2 x}{- 1}$

चरण 5.1.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.3.1

ऋणात्मक को $\frac{2 x}{- 1}$ के भाजक से हटा दें.

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = - 1 \cdot (2 x)$

चरण 5.1.3.2

$- 1 \cdot (2 x)$ को $- (2 x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = - (2 x)$

चरण 5.1.3.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} = - 2 x$

चरण 5.2

दोनों पक्षों को ${(- x + y)}^{2}$ से गुणा करें.

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} {(- x + y)}^{2} = - 2 x {(- x + y)}^{2}$

चरण 5.3

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} {(- x + y)}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.1

${(- x + y)}^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x y' - y}{{(- x + y)}^{2}} {(- x + y)}^{2} = - 2 x {(- x + y)}^{2}$

चरण 5.3.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x y' - y = - 2 x {(- x + y)}^{2}$

चरण 5.3.1.2

$x$ और $y'$ को पुन: क्रमित करें.

$y' x - y = - 2 x {(- x + y)}^{2}$

चरण 5.4

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$- 2 x {(- x + y)}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.1

फिर से लिखें.

$y' x - y = 0 + 0 - 2 x {(- x + y)}^{2}$

चरण 5.4.1.2

${(- x + y)}^{2}$ को $(- x + y) (- x + y)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' x - y = - 2 x ((- x + y) (- x + y))$

चरण 5.4.1.3

FOIL विधि का उपयोग करके $(- x + y) (- x + y)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y' x - y = - 2 x (- x (- x + y) + y (- x + y))$

चरण 5.4.1.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y' x - y = - 2 x (- x (- x) - x y + y (- x + y))$

चरण 5.4.1.3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y' x - y = - 2 x (- x (- x) - x y + y (- x) + y \cdot y)$

चरण 5.4.1.4

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.4.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$y' x - y = - 2 x (- 1 \cdot - 1 x \cdot x - x y + y (- x) + y \cdot y)$

चरण 5.4.1.4.1.2

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.4.1.2.1

$x$ ले जाएं.

$y' x - y = - 2 x (- 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x y + y (- x) + y \cdot y)$

चरण 5.4.1.4.1.2.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$y' x - y = - 2 x (- 1 \cdot - 1 x^{2} - x y + y (- x) + y \cdot y)$

चरण 5.4.1.4.1.3

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$y' x - y = - 2 x (1 x^{2} - x y + y (- x) + y \cdot y)$

चरण 5.4.1.4.1.4

$x^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - x y + y (- x) + y \cdot y)$

चरण 5.4.1.4.1.5

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - x y - y x + y \cdot y)$

चरण 5.4.1.4.1.6

$y$ को $y$ से गुणा करें.

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - x y - y x + y^{2})$

चरण 5.4.1.4.2

$- x y$ में से $y x$ घटाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.4.2.1

$y$ ले जाएं.

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - x y - x y + y^{2})$

चरण 5.4.1.4.2.2

$- x y$ में से $x y$ घटाएं.

$y' x - y = - 2 x (x^{2} - 2 x y + y^{2})$

चरण 5.4.1.5

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y' x - y = - 2 x \cdot x^{2} - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

चरण 5.4.1.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.6.1

घातांक जोड़कर $x$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.6.1.1

$x^{2}$ ले जाएं.

$y' x - y = - 2 (x^{2} x) - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

चरण 5.4.1.6.1.2

$x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.6.1.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y' x - y = - 2 (x^{2} x^{1}) - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

चरण 5.4.1.6.1.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y' x - y = - 2 x^{2 + 1} - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

चरण 5.4.1.6.1.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

$y' x - y = - 2 x^{3} - 2 x (- 2 x y) - 2 x y^{2}$

चरण 5.4.1.6.2

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.6.2.1

$x$ ले जाएं.

$y' x - y = - 2 x^{3} - 2 (x \cdot x) (- 2 y) - 2 x y^{2}$

चरण 5.4.1.6.2.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$y' x - y = - 2 x^{3} - 2 x^{2} (- 2 y) - 2 x y^{2}$

चरण 5.4.1.7

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.7.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$y' x - y = - 2 x^{3} - 2 \cdot - 2 x^{2} y - 2 x y^{2}$

चरण 5.4.1.7.2

$- 2$ को $- 2$ से गुणा करें.

$y' x - y = - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2}$

चरण 5.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $y$ जोड़ें.

$y' x = - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2} + y$

चरण 5.4.3

$y' x = - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2} + y$ के प्रत्येक पद को $x$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.1

$y' x = - 2 x^{3} + 4 x^{2} y - 2 x y^{2} + y$ के प्रत्येक पद को $x$ से विभाजित करें.

$\frac{y' x}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

चरण 5.4.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.2.1

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' x}{x} = \frac{- 2 x^{3}}{x} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

चरण 5.4.3.2.1.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{- 2 x^{3}}{x} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

चरण 5.4.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.3.1.1

$x^{3}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.3.1.1.1

$- 2 x^{3}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{x (- 2 x^{2})}{x} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

चरण 5.4.3.3.1.1.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.3.1.1.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y' = \frac{x (- 2 x^{2})}{x^{1}} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

चरण 5.4.3.3.1.1.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{x (- 2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

चरण 5.4.3.3.1.1.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = \frac{x (- 2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

चरण 5.4.3.3.1.1.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{- 2 x^{2}}{1} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

चरण 5.4.3.3.1.1.2.5

$- 2 x^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = - 2 x^{2} + \frac{4 x^{2} y}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

चरण 5.4.3.3.1.2

$x^{2}$ और $x$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.3.1.2.1

$4 x^{2} y$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y' = - 2 x^{2} + \frac{x (4 x y)}{x} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

चरण 5.4.3.3.1.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.3.1.2.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y' = - 2 x^{2} + \frac{x (4 x y)}{x^{1}} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

चरण 5.4.3.3.1.2.2.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$y' = - 2 x^{2} + \frac{x (4 x y)}{x \cdot 1} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

चरण 5.4.3.3.1.2.2.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = - 2 x^{2} + \frac{x (4 x y)}{x \cdot 1} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

चरण 5.4.3.3.1.2.2.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = - 2 x^{2} + \frac{4 x y}{1} + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

चरण 5.4.3.3.1.2.2.5

$4 x y$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = - 2 x^{2} + 4 x y + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

चरण 5.4.3.3.1.3

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.3.3.1.3.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = - 2 x^{2} + 4 x y + \frac{- 2 x y^{2}}{x} + \frac{y}{x}$

चरण 5.4.3.3.1.3.2

$- 2 y^{2}$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = - 2 x^{2} + 4 x y - 2 y^{2} + \frac{y}{x}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = - 2 x^{2} + 4 x y - 2 y^{2} + \frac{y}{x}$