कैलकुलस उदाहरण

$y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2} = - 4$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2}) = \frac{d}{d x} (- 4)$

चरण 2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $y^{3} + y^{2} - 5 y - x^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [y^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 2.2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ $n {u_{1}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 2.2.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 2.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 2.3.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$3 y^{2} y' + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 2.3.1.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$3 y^{2} y' + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 y^{2} y' + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 5 y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 2.4

$\frac{d}{d x} [- 5 y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

चूंकि $- 5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 5 y$ का व्युत्पन्न $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ है.

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 2.4.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y' + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

चरण 2.5

$\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.5.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x^{2}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y' - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

चरण 2.5.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y' - (2 x)$

चरण 2.5.3

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y' - 2 x$

चरण 2.6

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 2 x - 5 y'$

चरण 3

चूंकि $x$ के संबंध में $- 4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 2 x - 5 y' = 0$

चरण 5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $2 x$ जोड़ें.

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y' = 2 x$

चरण 5.2

$3 y^{2} y' + 2 y y' - 5 y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$3 y^{2} y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (3 y^{2}) + 2 y y' - 5 y' = 2 x$

चरण 5.2.2

$2 y y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (3 y^{2}) + y' (2 y) - 5 y' = 2 x$

चरण 5.2.3

$- 5 y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (3 y^{2}) + y' (2 y) + y' \cdot - 5 = 2 x$

चरण 5.2.4

$y' (3 y^{2}) + y' (2 y)$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (3 y^{2} + 2 y) + y' \cdot - 5 = 2 x$

चरण 5.2.5

$y' (3 y^{2} + 2 y) + y' \cdot - 5$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (3 y^{2} + 2 y - 5) = 2 x$

चरण 5.3

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

वर्गीकरण द्वारा गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.1

फॉर्म $a x^{2} + b x + c$ के बहुपद के लिए, मध्य पद को दो पदों के योग के रूप में फिर से लिखें, जिसका गुणनफल $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ है और जिसका योग $b = 2$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.1.1

$2 y$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$y' (3 y^{2} + 2 (y) - 5) = 2 x$

चरण 5.3.1.1.2

$2$ को $- 3$ जोड़ $5$ के रूप में फिर से लिखें

$y' (3 y^{2} + (- 3 + 5) y - 5) = 2 x$

चरण 5.3.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y' (3 y^{2} - 3 y + 5 y - 5) = 2 x$

चरण 5.3.1.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1.2.1

पहले दो पदों और अंतिम दो पदों को समूहित करें.

$y' ((3 y^{2} - 3 y) + 5 y - 5) = 2 x$

चरण 5.3.1.2.2

प्रत्येक समूह के महत्तम समापवर्तक (GCF) का गुणनखंड करें.

$y' (3 y (y - 1) + 5 (y - 1)) = 2 x$

चरण 5.3.1.3

महत्तम समापवर्तक, $y - 1$ का गुणनखंड करके बहुपद का गुणनखंड करें.

$y' ((y - 1) (3 y + 5)) = 2 x$

चरण 5.3.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$y' (y - 1) (3 y + 5) = 2 x$

चरण 5.4

$y' (y - 1) (3 y + 5) = 2 x$ के प्रत्येक पद को $(y - 1) (3 y + 5)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$y' (y - 1) (3 y + 5) = 2 x$ के प्रत्येक पद को $(y - 1) (3 y + 5)$ से विभाजित करें.

$\frac{y' (y - 1) (3 y + 5)}{(y - 1) (3 y + 5)} = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$

चरण 5.4.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1

$y - 1$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (y - 1) (3 y + 5)}{(y - 1) (3 y + 5)} = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$

चरण 5.4.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y' (3 y + 5)}{3 y + 5} = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$

चरण 5.4.2.2

$3 y + 5$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (3 y + 5)}{3 y + 5} = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$

चरण 5.4.2.2.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{(y - 1) (3 y + 5)}$