कैलकुलस उदाहरण

$y e^{x} + x e^{y} = x^{2} + y^{2} + \ln (2)$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y e^{x} + x e^{y}) = \frac{d}{d x} (x^{2} + y^{2} + \ln (2))$

चरण 2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $y e^{x} + x e^{y}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [y e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{y}]$ है.

$\frac{d}{d x} [y e^{x}] + \frac{d}{d x} [x e^{y}]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [y e^{x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = y$ और $g (x) = e^{x}$ है.

$y \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x e^{y}]$

चरण 2.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$y e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x e^{y}]$

चरण 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$y e^{x} + e^{x} y' + \frac{d}{d x} [x e^{y}]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = e^{y}$ है.

$y e^{x} + e^{x} y' + x \frac{d}{d x} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$y e^{x} + e^{x} y' + x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$y e^{x} + e^{x} y' + x (e^{u} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$y e^{x} + e^{x} y' + x (e^{y} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$y e^{x} + e^{x} y' + x (e^{y} y') + e^{y} \frac{d}{d x} [x]$

चरण 2.3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$y e^{x} + e^{x} y' + x (e^{y} y') + e^{y} \cdot 1$

चरण 2.3.5

$e^{y}$ को $1$ से गुणा करें.

$y e^{x} + e^{x} y' + x e^{y} y' + e^{y}$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + y^{2} + \ln (2)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (2)]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (2)]$

चरण 3.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\ln (2)]$

चरण 3.2

$\frac{d}{d x} [y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\ln (2)]$

चरण 3.2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 x + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\ln (2)]$

चरण 3.2.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\ln (2)]$

चरण 3.2.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$2 x + 2 y y' + \frac{d}{d x} [\ln (2)]$

चरण 3.3

चूंकि $x$ के संबंध में $\ln (2)$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $\ln (2)$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 x + 2 y y' + 0$

चरण 3.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$2 x + 2 y y'$ और $0$ जोड़ें.

$2 x + 2 y y'$

चरण 3.4.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$2 y y' + 2 x$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y e^{x} + e^{x} y' + x e^{y} y' + e^{y} = 2 y y' + 2 x$

चरण 5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

गुणनखंडों को $y e^{x} + e^{x} y' + x e^{y} y' + e^{y}$ में पुन: क्रमित करें.

$y e^{x} + y' e^{x} + x y' e^{y} + e^{y} = 2 y y' + 2 x$

चरण 5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 y y'$ घटाएं.

$y e^{x} + y' e^{x} + x y' e^{y} + e^{y} - 2 y y' = 2 x$

चरण 5.3

$y'$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $y e^{x}$ घटाएं.

$y' e^{x} + x y' e^{y} + e^{y} - 2 y y' = 2 x - y e^{x}$

चरण 5.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $e^{y}$ घटाएं.

$y' e^{x} + x y' e^{y} - 2 y y' = 2 x - y e^{x} - e^{y}$

चरण 5.4

$y' e^{x} + x y' e^{y} - 2 y y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$y' e^{x}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (e^{x}) + x (y') e^{y} - 2 y y' = 2 x - y e^{x} - e^{y}$

चरण 5.4.2

$x y' e^{y}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (e^{x}) + y' (x e^{y}) - 2 y y' = 2 x - y e^{x} - e^{y}$

चरण 5.4.3

$- 2 y y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (e^{x}) + y' (x e^{y}) + y' (- 2 y) = 2 x - y e^{x} - e^{y}$

चरण 5.4.4

$y' (e^{x}) + y' (x e^{y})$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (e^{x} + x e^{y}) + y' (- 2 y) = 2 x - y e^{x} - e^{y}$

चरण 5.4.5

$y' (e^{x} + x e^{y}) + y' (- 2 y)$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (e^{x} + x e^{y} - 2 y) = 2 x - y e^{x} - e^{y}$

चरण 5.5

$y' (e^{x} + x e^{y} - 2 y) = 2 x - y e^{x} - e^{y}$ के प्रत्येक पद को $e^{x} + x e^{y} - 2 y$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

$y' (e^{x} + x e^{y} - 2 y) = 2 x - y e^{x} - e^{y}$ के प्रत्येक पद को $e^{x} + x e^{y} - 2 y$ से विभाजित करें.

$\frac{y' (e^{x} + x e^{y} - 2 y)}{e^{x} + x e^{y} - 2 y} = \frac{2 x}{e^{x} + x e^{y} - 2 y} + \frac{- y e^{x}}{e^{x} + x e^{y} - 2 y} + \frac{- e^{y}}{e^{x} + x e^{y} - 2 y}$

चरण 5.5.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.1

$e^{x} + x e^{y} - 2 y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (e^{x} + x e^{y} - 2 y)}{e^{x} + x e^{y} - 2 y} = \frac{2 x}{e^{x} + x e^{y} - 2 y} + \frac{- y e^{x}}{e^{x} + x e^{y} - 2 y} + \frac{- e^{y}}{e^{x} + x e^{y} - 2 y}$

चरण 5.5.2.1.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{2 x}{e^{x} + x e^{y} - 2 y} + \frac{- y e^{x}}{e^{x} + x e^{y} - 2 y} + \frac{- e^{y}}{e^{x} + x e^{y} - 2 y}$

चरण 5.5.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.1.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = \frac{2 x}{e^{x} + x e^{y} - 2 y} - \frac{y e^{x}}{e^{x} + x e^{y} - 2 y} + \frac{- e^{y}}{e^{x} + x e^{y} - 2 y}$

चरण 5.5.3.1.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = \frac{2 x}{e^{x} + x e^{y} - 2 y} - \frac{y e^{x}}{e^{x} + x e^{y} - 2 y} - \frac{e^{y}}{e^{x} + x e^{y} - 2 y}$

चरण 5.5.3.2

एक भिन्न में जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.2.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y' = \frac{2 x - y e^{x}}{e^{x} + x e^{y} - 2 y} - \frac{e^{y}}{e^{x} + x e^{y} - 2 y}$

चरण 5.5.3.2.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y' = \frac{2 x - y e^{x} - e^{y}}{e^{x} + x e^{y} - 2 y}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - y e^{x} - e^{y}}{e^{x} + x e^{y} - 2 y}$