कैलकुलस उदाहरण

$x e^{y} - y e^{x} = 1$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (x e^{y} - y e^{x}) = \frac{d}{d x} (1)$

चरण 2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x e^{y} - y e^{x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [- y e^{x}]$ है.

$\frac{d}{d x} [x e^{y}] + \frac{d}{d x} [- y e^{x}]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [x e^{y}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = e^{y}$ है.

$x \frac{d}{d x} [e^{y}] + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y e^{x}]$

चरण 2.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y e^{x}]$

चरण 2.2.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y e^{x}]$

चरण 2.2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$x (e^{y} \frac{d}{d x} [y]) + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y e^{x}]$

चरण 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$x (e^{y} y') + e^{y} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y e^{x}]$

चरण 2.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x (e^{y} y') + e^{y} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y e^{x}]$

चरण 2.2.5

$e^{y}$ को $1$ से गुणा करें.

$x e^{y} y' + e^{y} + \frac{d}{d x} [- y e^{x}]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [- y e^{x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- y e^{x}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [y e^{x}]$ है.

$x e^{y} y' + e^{y} - \frac{d}{d x} [y e^{x}]$

चरण 2.3.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = y$ और $g (x) = e^{x}$ है.

$x e^{y} y' + e^{y} - (y \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [y])$

चरण 2.3.3

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ $a^{x} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$x e^{y} y' + e^{y} - (y e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [y])$

चरण 2.3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$x e^{y} y' + e^{y} - (y e^{x} + e^{x} y')$

चरण 2.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x e^{y} y' + e^{y} - (y e^{x}) - (e^{x} y')$

चरण 2.4.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$x e^{y} y' + e^{y} - y e^{x} - e^{x} y'$

चरण 2.4.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$e^{y} x y' - e^{x} y - e^{x} y' + e^{y}$

चरण 2.4.4

गुणनखंडों को $e^{y} x y' - e^{x} y - e^{x} y' + e^{y}$ में पुन: क्रमित करें.

$x e^{y} y' - y e^{x} - e^{x} y' + e^{y}$

चरण 3

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$0$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$x e^{y} y' - y e^{x} - e^{x} y' + e^{y} = 0$

चरण 5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

गुणनखंडों को $x e^{y} y' - y e^{x} - e^{x} y' + e^{y}$ में पुन: क्रमित करें.

$x y' e^{y} - y e^{x} - y' e^{x} + e^{y} = 0$

चरण 5.2

$y'$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $y e^{x}$ जोड़ें.

$x y' e^{y} - y' e^{x} + e^{y} = y e^{x}$

चरण 5.2.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $e^{y}$ घटाएं.

$x y' e^{y} - y' e^{x} = y e^{x} - e^{y}$

चरण 5.3

$x y' e^{y} - y' e^{x}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

$x y' e^{y}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (x e^{y}) - y' e^{x} = y e^{x} - e^{y}$

चरण 5.3.2

$- y' e^{x}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (x e^{y}) + y' (- 1 e^{x}) = y e^{x} - e^{y}$

चरण 5.3.3

$y' (x e^{y}) + y' (- 1 e^{x})$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (x e^{y} - 1 e^{x}) = y e^{x} - e^{y}$

चरण 5.4

$- 1 e^{x}$ को $- e^{x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' (x e^{y} - e^{x}) = y e^{x} - e^{y}$

चरण 5.5

$y' (x e^{y} - e^{x}) = y e^{x} - e^{y}$ के प्रत्येक पद को $x e^{y} - e^{x}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

$y' (x e^{y} - e^{x}) = y e^{x} - e^{y}$ के प्रत्येक पद को $x e^{y} - e^{x}$ से विभाजित करें.

$\frac{y' (x e^{y} - e^{x})}{x e^{y} - e^{x}} = \frac{y e^{x}}{x e^{y} - e^{x}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} - e^{x}}$

चरण 5.5.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.1

$x e^{y} - e^{x}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (x e^{y} - e^{x})}{x e^{y} - e^{x}} = \frac{y e^{x}}{x e^{y} - e^{x}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} - e^{x}}$

चरण 5.5.2.1.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{y e^{x}}{x e^{y} - e^{x}} + \frac{- e^{y}}{x e^{y} - e^{x}}$

चरण 5.5.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.3.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y' = \frac{y e^{x} - e^{y}}{x e^{y} - e^{x}}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y e^{x} - e^{y}}{x e^{y} - e^{x}}$