कैलकुलस उदाहरण

$x^{2} \cos (y) + \sin (2 y) = x y$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (x^{2} \cos (y) + \sin (2 y)) = \frac{d}{d x} (x y)$

चरण 2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} \cos (y) + \sin (2 y)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (y)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (y)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (y)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = \cos (y)$ है.

$x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

चरण 2.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

चरण 2.2.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\cos (u_{1})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{1})$ है.

$x^{2} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

चरण 2.2.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$x^{2} (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

चरण 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{2} (- \sin (y) y') + \cos (y) \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

चरण 2.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$x^{2} (- \sin (y) y') + \cos (y) (2 x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

चरण 2.2.5

$2$ को $\cos (y)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$x^{2} (- \sin (y) y') + 2 \cos (y) x + \frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [\sin (2 y)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 2 y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $2 y$ के रूप में सेट करें.

$x^{2} (- \sin (y) y') + 2 \cos (y) x + \frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 y]$

चरण 2.3.1.2

$u_{2}$ के संबंध में $\sin (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\cos (u_{2})$ है.

$x^{2} (- \sin (y) y') + 2 \cos (y) x + \cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 y]$

चरण 2.3.1.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 y$ से बदलें.

$x^{2} (- \sin (y) y') + 2 \cos (y) x + \cos (2 y) \frac{d}{d x} [2 y]$

चरण 2.3.2

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 y$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [y]$ है.

$x^{2} (- \sin (y) y') + 2 \cos (y) x + \cos (2 y) (2 \frac{d}{d x} [y])$

चरण 2.3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$x^{2} (- \sin (y) y') + 2 \cos (y) x + \cos (2 y) (2 y')$

चरण 2.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- x^{2} \sin (y) y' + 2 x \cos (y) + 2 \cos (2 y) y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = y$ है.

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

चरण 3.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x y' + y \cdot 1$

चरण 3.4

$y$ को $1$ से गुणा करें.

$x y' + y$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$- x^{2} \sin (y) y' + 2 x \cos (y) + 2 \cos (2 y) y' = x y' + y$

चरण 5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

$\cos (2 x)$ को $1 - 2 \sin^{2} (x)$ में बदलने के लिए दोहरा कोण सर्वसमिका का प्रयोग करें.

$- x^{2} \sin (y) y' + 2 x \cos (y) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' = x y' + y$

चरण 5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $2 x \cos (y)$ घटाएं.

$- x^{2} \sin (y) y' + 2 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' = x y' + y - 2 x \cos (y)$

चरण 5.3

समीकरण के दोनों पक्षों से $x y'$ घटाएं.

$- x^{2} \sin (y) y' + 2 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' - x y' = y - 2 x \cos (y)$

चरण 5.4

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$- x^{2} \sin (y) y' + 2 (1 - 2 \sin^{2} (y)) y' - x y'$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- x^{2} \sin (y) y' + (2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (y))) y' - x y' = y - 2 x \cos (y)$

चरण 5.4.1.1.2

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$- x^{2} \sin (y) y' + (2 + 2 (- 2 \sin^{2} (y))) y' - x y' = y - 2 x \cos (y)$

चरण 5.4.1.1.3

$- 2$ को $2$ से गुणा करें.

$- x^{2} \sin (y) y' + (2 - 4 \sin^{2} (y)) y' - x y' = y - 2 x \cos (y)$

चरण 5.4.1.1.4

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$- x^{2} \sin (y) y' + 2 y' - 4 \sin^{2} (y) y' - x y' = y - 2 x \cos (y)$

चरण 5.4.1.2

गुणनखंडों को $- x^{2} \sin (y) y' + 2 y' - 4 \sin^{2} (y) y' - x y'$ में पुन: क्रमित करें.

$- x^{2} y' \sin (y) + 2 y' - 4 y' \sin^{2} (y) - x y' = y - 2 x \cos (y)$

चरण 5.5

$y'$ के लिए समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

$- x^{2} y' \sin (y) + 2 y' - 4 y' \sin^{2} (y) - x y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1.1

$- x^{2} y' \sin (y)$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (- x^{2} \sin (y)) + 2 y' - 4 y' \sin^{2} (y) - x y' = y - 2 x \cos (y)$

चरण 5.5.1.2

$2 y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (- x^{2} \sin (y)) + y' \cdot 2 - 4 y' \sin^{2} (y) - x y' = y - 2 x \cos (y)$

चरण 5.5.1.3

$- 4 y' \sin^{2} (y)$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (- x^{2} \sin (y)) + y' \cdot 2 + y' (- 4 \sin^{2} (y)) - x y' = y - 2 x \cos (y)$

चरण 5.5.1.4

$- x y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (- x^{2} \sin (y)) + y' \cdot 2 + y' (- 4 \sin^{2} (y)) + y' (- x) = y - 2 x \cos (y)$

चरण 5.5.1.5

$y' (- x^{2} \sin (y)) + y' \cdot 2$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (- x^{2} \sin (y) + 2) + y' (- 4 \sin^{2} (y)) + y' (- x) = y - 2 x \cos (y)$

चरण 5.5.1.6

$y' (- x^{2} \sin (y) + 2) + y' (- 4 \sin^{2} (y))$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y)) + y' (- x) = y - 2 x \cos (y)$

चरण 5.5.1.7

$y' (- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y)) + y' (- x)$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x) = y - 2 x \cos (y)$

चरण 5.5.2

$y' (- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x) = y - 2 x \cos (y)$ के प्रत्येक पद को $- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.1

$y' (- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x) = y - 2 x \cos (y)$ के प्रत्येक पद को $- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x$ से विभाजित करें.

$\frac{y' (- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x)}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x} = \frac{y}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x} + \frac{- 2 x \cos (y)}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x}$

चरण 5.5.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.2.1

$- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

चरण 5.5.2.2.1.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{y}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x} + \frac{- 2 x \cos (y)}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x}$

चरण 5.5.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = \frac{y}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x} - \frac{2 x \cos (y)}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x}$

चरण 5.5.2.3.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- x^{2} \sin (y) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x}$

चरण 5.5.2.3.3

$- x^{2} \sin (y)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- (x^{2} \sin (y)) + 2 - 4 \sin^{2} (y) - x}$

चरण 5.5.2.3.4

$2$ को $- 1 (- 2)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- (x^{2} \sin (y)) - 1 (- 2) - 4 \sin^{2} (y) - x}$

चरण 5.5.2.3.5

$- (x^{2} \sin (y)) - 1 (- 2)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- (x^{2} \sin (y) - 2) - 4 \sin^{2} (y) - x}$

चरण 5.5.2.3.6

$- 4 \sin^{2} (y)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- (x^{2} \sin (y) - 2) - (4 \sin^{2} (y)) - x}$

चरण 5.5.2.3.7

$- (x^{2} \sin (y) - 2) - (4 \sin^{2} (y))$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- (x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)) - x}$

चरण 5.5.2.3.8

$- x$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- (x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)) - (x)}$

चरण 5.5.2.3.9

$- (x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y)) - (x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- (x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y) + x)}$

चरण 5.5.2.3.10

ऋणात्मक रूप में फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.2.3.10.1

$- (x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y) + x)$ को $- 1 (x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y) + x)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' = \frac{y - 2 x \cos (y)}{- 1 (x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y) + x)}$

चरण 5.5.2.3.10.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{y - 2 x \cos (y)}{x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y) + x}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y - 2 x \cos (y)}{x^{2} \sin (y) - 2 + 4 \sin^{2} (y) + x}$