कैलकुलस उदाहरण

$x^{3} - y^{3} = 3 x^{2} y - 3 x y^{2}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (x^{3} - y^{3}) = \frac{d}{d x} (3 x^{2} y - 3 x y^{2})$

चरण 2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3} - y^{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ है.

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

चरण 2.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- y^{3}$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ है.

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

चरण 2.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{3}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$3 x^{2} - (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

चरण 2.2.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$3 x^{2} - (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

चरण 2.2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$3 x^{2} - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

चरण 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 x^{2} - (3 y^{2} y')$

चरण 2.2.4

$3$ को $- 1$ से गुणा करें.

$3 x^{2} - 3 y^{2} y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $3 x^{2} y - 3 x y^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$ है.

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

चरण 3.2

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x^{2} y$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ है.

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

चरण 3.2.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y$ है.

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

चरण 3.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

चरण 3.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$3 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

चरण 3.2.5

$2$ को $y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$3 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$

चरण 3.3

$\frac{d}{d x} [- 3 x y^{2}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चूंकि $- 3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 3 x y^{2}$ का व्युत्पन्न $- 3 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ है.

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$

चरण 3.3.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = y^{2}$ है.

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.3.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{2}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.3.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.3.4

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x])$

चरण 3.3.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1)$

चरण 3.3.6

$2$ को $x$ के बाईं ओर ले जाएं.

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1)$

चरण 3.3.7

$y^{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$3 (x^{2} y' + 2 y x) - 3 (2 x y y' + y^{2})$

चरण 3.4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 (x^{2} y') + 3 (2 y x) - 3 (2 x y y' + y^{2})$

चरण 3.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$3 (x^{2} y') + 3 (2 y x) - 3 (2 x y y') - 3 y^{2}$

चरण 3.4.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$3 x^{2} y' + 6 (y x) - 3 (2 x y y') - 3 y^{2}$

चरण 3.4.3.2

$2$ को $- 3$ से गुणा करें.

$3 x^{2} y' + 6 y x - 6 x y y' - 3 y^{2}$

चरण 3.4.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$- 3 y^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y - 6 x y y'$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$3 x^{2} - 3 y^{2} y' = - 3 y^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y - 6 x y y'$

चरण 5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

चूंकि $y'$ समीकरण के दाएं पक्ष की ओर है, पक्षों को स्विच करें ताकि यह समीकरण के बाएं पक्ष की ओर हो.

$- 3 y^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y - 6 x y y' = 3 x^{2} - 3 y^{2} y'$

चरण 5.2

समीकरण के दोनों पक्षों में $3 y^{2} y'$ जोड़ें.

$- 3 y^{2} + 3 x^{2} y' + 6 x y - 6 x y y' + 3 y^{2} y' = 3 x^{2}$

चरण 5.3

$y'$ वाले सभी पदों को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $3 y^{2}$ जोड़ें.

$3 x^{2} y' + 6 x y - 6 x y y' + 3 y^{2} y' = 3 x^{2} + 3 y^{2}$

चरण 5.3.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $6 x y$ घटाएं.

$3 x^{2} y' - 6 x y y' + 3 y^{2} y' = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

चरण 5.4

$3 x^{2} y' - 6 x y y' + 3 y^{2} y'$ में से $3 y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.4.1

$3 x^{2} y'$ में से $3 y'$ का गुणनखंड करें.

$3 y' x^{2} - 6 x y y' + 3 y^{2} y' = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

चरण 5.4.2

$- 6 x y y'$ में से $3 y'$ का गुणनखंड करें.

$3 y' x^{2} + 3 y' (- 2 x y) + 3 y^{2} y' = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

चरण 5.4.3

$3 y^{2} y'$ में से $3 y'$ का गुणनखंड करें.

$3 y' x^{2} + 3 y' (- 2 x y) + 3 y' y^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

चरण 5.4.4

$3 y' x^{2} + 3 y' (- 2 x y)$ में से $3 y'$ का गुणनखंड करें.

$3 y' (x^{2} - 2 x y) + 3 y' y^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

चरण 5.4.5

$3 y' (x^{2} - 2 x y) + 3 y' y^{2}$ में से $3 y'$ का गुणनखंड करें.

$3 y' (x^{2} - 2 x y + y^{2}) = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

चरण 5.5

पूर्ण वर्ग नियम का उपयोग करके गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.5.1

जाँच करें कि मध्य पद पहले पद और तीसरे पद में वर्गीकृत की जा रही संख्याओं के गुणनफल का दोगुना है.

$2 x y = 2 \cdot x \cdot y$

चरण 5.5.2

बहुपद को फिर से लिखें.

$3 y' (x^{2} - 2 \cdot x \cdot y + y^{2}) = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

चरण 5.5.3

पूर्ण वर्ग त्रिपद नियम $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ का उपयोग करके गुणनखंड करें, जहाँ $a = x$ और $b = y$ है.

$3 y' {(x - y)}^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$

चरण 5.6

$3 y' {(x - y)}^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$ के प्रत्येक पद को $3 {(x - y)}^{2}$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.1

$3 y' {(x - y)}^{2} = 3 x^{2} + 3 y^{2} - 6 x y$ के प्रत्येक पद को $3 {(x - y)}^{2}$ से विभाजित करें.

$\frac{3 y' {(x - y)}^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

चरण 5.6.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.2.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 y' {(x - y)}^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

चरण 5.6.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{y' {(x - y)}^{2}}{{(x - y)}^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

चरण 5.6.2.2

${(x - y)}^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' {(x - y)}^{2}}{{(x - y)}^{2}} = \frac{3 x^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

चरण 5.6.2.2.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

चरण 5.6.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.3.1.1

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.3.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = \frac{3 x^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

चरण 5.6.3.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

चरण 5.6.3.1.2

$3$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.3.1.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{3 y^{2}}{3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

चरण 5.6.3.1.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{- 6 x y}{3 {(x - y)}^{2}}$

चरण 5.6.3.1.3

$- 6$ और $3$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.3.1.3.1

$- 6 x y$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 {(x - y)}^{2}}$

चरण 5.6.3.1.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.6.3.1.3.2.1

$3 {(x - y)}^{2}$ में से $3$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 ({(x - y)}^{2})}$

चरण 5.6.3.1.3.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{3 (- 2 x y)}{3 {(x - y)}^{2}}$

चरण 5.6.3.1.3.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{- 2 x y}{{(x - y)}^{2}}$

चरण 5.6.3.1.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} - \frac{2 x y}{{(x - y)}^{2}}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} - \frac{2 x y}{{(x - y)}^{2}}$