कैलकुलस उदाहरण

$y = {(5 t^{2} - 4 t)}^{2}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} ({(5 t^{2} - 4 t)}^{2})$

चरण 2

$t$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = t^{2}$ और $g (t) = 5 t^{2} - 4 t$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $5 t^{2} - 4 t$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d t} [5 t^{2} - 4 t]$

चरण 3.1.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 u \frac{d}{d t} [5 t^{2} - 4 t]$

चरण 3.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $5 t^{2} - 4 t$ से बदलें.

$2 (5 t^{2} - 4 t) \frac{d}{d t} [5 t^{2} - 4 t]$

चरण 3.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $5 t^{2} - 4 t$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t]$ है.

$2 (5 t^{2} - 4 t) (\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

चरण 3.2.2

चूंकि $5$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $5 t^{2}$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ है.

$2 (5 t^{2} - 4 t) (5 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

चरण 3.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$2 (5 t^{2} - 4 t) (5 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

चरण 3.2.4

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t + \frac{d}{d t} [- 4 t])$

चरण 3.2.5

चूंकि $- 4$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $- 4 t$ का व्युत्पन्न $- 4 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t - 4 \frac{d}{d t} [t])$

चरण 3.2.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t - 4 \cdot 1)$

चरण 3.2.7

$- 4$ को $1$ से गुणा करें.

$2 (5 t^{2} - 4 t) (10 t - 4)$

चरण 3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$(2 (5 t^{2}) + 2 (- 4 t)) (10 t - 4)$

चरण 3.3.2

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

$5$ को $2$ से गुणा करें.

$(10 t^{2} + 2 (- 4 t)) (10 t - 4)$

चरण 3.3.2.2

$- 4$ को $2$ से गुणा करें.

$(10 t^{2} - 8 t) (10 t - 4)$

चरण 3.3.3

$(10 t^{2} - 8 t) (10 t - 4)$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$(10 t - 4) (10 t^{2} - 8 t)$

चरण 3.3.4

FOIL विधि का उपयोग करके $(10 t - 4) (10 t^{2} - 8 t)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$10 t (10 t^{2} - 8 t) - 4 (10 t^{2} - 8 t)$

चरण 3.3.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$10 t (10 t^{2}) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2} - 8 t)$

चरण 3.3.4.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$10 t (10 t^{2}) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

चरण 3.3.5

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.5.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$10 \cdot 10 t \cdot t^{2} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

चरण 3.3.5.1.2

घातांक जोड़कर $t$ को $t^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.5.1.2.1

$t^{2}$ ले जाएं.

$10 \cdot 10 (t^{2} t) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

चरण 3.3.5.1.2.2

$t^{2}$ को $t$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.5.1.2.2.1

$t$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$10 \cdot 10 (t^{2} t^{1}) + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

चरण 3.3.5.1.2.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$10 \cdot 10 t^{2 + 1} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

चरण 3.3.5.1.2.3

$2$ और $1$ जोड़ें.

$10 \cdot 10 t^{3} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

चरण 3.3.5.1.3

$10$ को $10$ से गुणा करें.

$100 t^{3} + 10 t (- 8 t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

चरण 3.3.5.1.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$100 t^{3} + 10 \cdot - 8 t \cdot t - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

चरण 3.3.5.1.5

घातांक जोड़कर $t$ को $t$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.5.1.5.1

$t$ ले जाएं.

$100 t^{3} + 10 \cdot - 8 (t \cdot t) - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

चरण 3.3.5.1.5.2

$t$ को $t$ से गुणा करें.

$100 t^{3} + 10 \cdot - 8 t^{2} - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

चरण 3.3.5.1.6

$10$ को $- 8$ से गुणा करें.

$100 t^{3} - 80 t^{2} - 4 (10 t^{2}) - 4 (- 8 t)$

चरण 3.3.5.1.7

$10$ को $- 4$ से गुणा करें.

$100 t^{3} - 80 t^{2} - 40 t^{2} - 4 (- 8 t)$

चरण 3.3.5.1.8

$- 8$ को $- 4$ से गुणा करें.

$100 t^{3} - 80 t^{2} - 40 t^{2} + 32 t$

चरण 3.3.5.2

$- 80 t^{2}$ में से $40 t^{2}$ घटाएं.

$100 t^{3} - 120 t^{2} + 32 t$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = 100 t^{3} - 120 t^{2} + 32 t$

चरण 5

$y'$ को $\frac{d y}{d t}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d t} = 100 t^{3} - 120 t^{2} + 32 t$