कैलकुलस उदाहरण

$y = e^{7 t} \sin (8 t)$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (e^{7 t} \sin (8 t))$

चरण 2

$t$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ है, जहाँ $f (t) = e^{7 t}$ और $g (t) = \sin (8 t)$ है.

$e^{7 t} \frac{d}{d t} [\sin (8 t)] + \sin (8 t) \frac{d}{d t} [e^{7 t}]$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = \sin (t)$ और $g (t) = 8 t$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $8 t$ के रूप में सेट करें.

$e^{7 t} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d t} [8 t]) + \sin (8 t) \frac{d}{d t} [e^{7 t}]$

चरण 3.2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\sin (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\cos (u_{1})$ है.

$e^{7 t} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d t} [8 t]) + \sin (8 t) \frac{d}{d t} [e^{7 t}]$

चरण 3.2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $8 t$ से बदलें.

$e^{7 t} (\cos (8 t) \frac{d}{d t} [8 t]) + \sin (8 t) \frac{d}{d t} [e^{7 t}]$

चरण 3.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चूंकि $8$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $8 t$ का व्युत्पन्न $8 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$e^{7 t} (\cos (8 t) (8 \frac{d}{d t} [t])) + \sin (8 t) \frac{d}{d t} [e^{7 t}]$

चरण 3.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$e^{7 t} (\cos (8 t) (8 \cdot 1)) + \sin (8 t) \frac{d}{d t} [e^{7 t}]$

चरण 3.3.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1

$8$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{7 t} (\cos (8 t) \cdot 8) + \sin (8 t) \frac{d}{d t} [e^{7 t}]$

चरण 3.3.3.2

$8$ को $\cos (8 t)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$e^{7 t} (8 \cdot \cos (8 t)) + \sin (8 t) \frac{d}{d t} [e^{7 t}]$

चरण 3.4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = e^{t}$ और $g (t) = 7 t$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $7 t$ के रूप में सेट करें.

$e^{7 t} (8 \cos (8 t)) + \sin (8 t) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [7 t])$

चरण 3.4.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{7 t} (8 \cos (8 t)) + \sin (8 t) (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [7 t])$

चरण 3.4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $7 t$ से बदलें.

$e^{7 t} (8 \cos (8 t)) + \sin (8 t) (e^{7 t} \frac{d}{d t} [7 t])$

चरण 3.5

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

चूंकि $7$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $7 t$ का व्युत्पन्न $7 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$e^{7 t} (8 \cos (8 t)) + \sin (8 t) (e^{7 t} (7 \frac{d}{d t} [t]))$

चरण 3.5.2

$e^{7 t} (8 \cos (8 t)) + \sin (8 t) (e^{7 t} (7 \cdot 1))$

चरण 3.5.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.1

$7$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{7 t} (8 \cos (8 t)) + \sin (8 t) (e^{7 t} \cdot 7)$

चरण 3.5.3.2

$7$ को $e^{7 t}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$e^{7 t} (8 \cos (8 t)) + \sin (8 t) (7 \cdot e^{7 t})$

चरण 3.5.3.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$8 e^{7 t} \cos (8 t) + 7 e^{7 t} \sin (8 t)$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = 8 e^{7 t} \cos (8 t) + 7 e^{7 t} \sin (8 t)$

चरण 5

$y'$ को $\frac{d y}{d t}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d t} = 8 e^{7 t} \cos (8 t) + 7 e^{7 t} \sin (8 t)$