कैलकुलस उदाहरण

$y = e^{\cos^{2} (π t - 9)}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (e^{\cos^{2} (π t - 9)})$

चरण 2

$t$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

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चरण 3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = e^{t}$ और $g (t) = \cos^{2} (π t - 9)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $\cos^{2} (π t - 9)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [\cos^{2} (π t - 9)]$

चरण 3.1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [\cos^{2} (π t - 9)]$

चरण 3.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $\cos^{2} (π t - 9)$ से बदलें.

$e^{\cos^{2} (π t - 9)} \frac{d}{d t} [\cos^{2} (π t - 9)]$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = t^{2}$ और $g (t) = \cos (π t - 9)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $\cos (π t - 9)$ के रूप में सेट करें.

$e^{\cos^{2} (π t - 9)} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [\cos (π t - 9)])$

चरण 3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ $n {u_{2}}^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$e^{\cos^{2} (π t - 9)} (2 u_{2} \frac{d}{d t} [\cos (π t - 9)])$

चरण 3.2.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\cos (π t - 9)$ से बदलें.

$e^{\cos^{2} (π t - 9)} (2 \cos (π t - 9) \frac{d}{d t} [\cos (π t - 9)])$

चरण 3.3

$2$ को $e^{\cos^{2} (π t - 9)}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$2 \cdot e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) \frac{d}{d t} [\cos (π t - 9)]$

चरण 3.4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = \cos (t)$ और $g (t) = π t - 9$ है.

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चरण 3.4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{3}$ को $π t - 9$ के रूप में सेट करें.

$2 e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d t} [π t - 9])$

चरण 3.4.2

$u_{3}$ के संबंध में $\cos (u_{3})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{3})$ है.

$2 e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d t} [π t - 9])$

चरण 3.4.3

$u_{3}$ की सभी घटनाओं को $π t - 9$ से बदलें.

$2 e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) (- \sin (π t - 9) \frac{d}{d t} [π t - 9])$

चरण 3.5

अवकलन करें.

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चरण 3.5.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$- 2 e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) (\sin (π t - 9) \frac{d}{d t} [π t - 9])$

चरण 3.5.2

योग नियम के अनुसार, $t$ के संबंध में $π t - 9$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d t} [π t] + \frac{d}{d t} [- 9]$ है.

$- 2 e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) \sin (π t - 9) (\frac{d}{d t} [π t] + \frac{d}{d t} [- 9])$

चरण 3.5.3

चूंकि $π$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $π t$ का व्युत्पन्न $π \frac{d}{d t} [t]$ है.

$- 2 e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) \sin (π t - 9) (π \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 9])$

चरण 3.5.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$- 2 e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) \sin (π t - 9) (π \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 9])$

चरण 3.5.5

$π$ को $1$ से गुणा करें.

$- 2 e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) \sin (π t - 9) (π + \frac{d}{d t} [- 9])$

चरण 3.5.6

चूंकि $t$ के संबंध में $- 9$ स्थिर है, $t$ के संबंध में $- 9$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$- 2 e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) \sin (π t - 9) (π + 0)$

चरण 3.5.7

व्यंजक को सरल बनाएंं.

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चरण 3.5.7.1

$π$ और $0$ जोड़ें.

$- 2 e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) \sin (π t - 9) π$

चरण 3.5.7.2

$- 2 e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) \sin (π t - 9) π$ के गुणनखंडों को फिर से क्रमित करें.

$- 2 π e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) \sin (π t - 9)$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = - 2 π e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) \sin (π t - 9)$

चरण 5

$y'$ को $\frac{d y}{d t}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d t} = - 2 π e^{\cos^{2} (π t - 9)} \cos (π t - 9) \sin (π t - 9)$