कैलकुलस उदाहरण

$y = e^{6 t \sin (2 t)}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (e^{6 t \sin (2 t)})$

चरण 2

$t$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = e^{t}$ और $g (t) = 6 t \sin (2 t)$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $6 t \sin (2 t)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [6 t \sin (2 t)]$

चरण 3.1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [6 t \sin (2 t)]$

चरण 3.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $6 t \sin (2 t)$ से बदलें.

$e^{6 t \sin (2 t)} \frac{d}{d t} [6 t \sin (2 t)]$

चरण 3.2

अचर उत्पाद नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चूंकि $6$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $6 t \sin (2 t)$ का व्युत्पन्न $6 \frac{d}{d t} [t \sin (2 t)]$ है.

$e^{6 t \sin (2 t)} (6 \frac{d}{d t} [t \sin (2 t)])$

चरण 3.2.2

$6$ को $e^{6 t \sin (2 t)}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$6 \cdot e^{6 t \sin (2 t)} \frac{d}{d t} [t \sin (2 t)]$

चरण 3.3

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ है, जहाँ $f (t) = t$ और $g (t) = \sin (2 t)$ है.

$6 e^{6 t \sin (2 t)} (t \frac{d}{d t} [\sin (2 t)] + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

चरण 3.4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ $f' (g (t)) g' (t)$ है, जहाँ $f (t) = \sin (t)$ और $g (t) = 2 t$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $2 t$ के रूप में सेट करें.

$6 e^{6 t \sin (2 t)} (t (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [2 t]) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

चरण 3.4.2

$u_{2}$ के संबंध में $\sin (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\cos (u_{2})$ है.

$6 e^{6 t \sin (2 t)} (t (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [2 t]) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

चरण 3.4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $2 t$ से बदलें.

$6 e^{6 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

चरण 3.5

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

चूंकि $2$ , $t$ के संबंध में स्थिर है, $t$ के संबंध में $2 t$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d t} [t]$ है.

$6 e^{6 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

चरण 3.5.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ $n t^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$6 e^{6 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) (2 \cdot 1)) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

चरण 3.5.3

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.3.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$6 e^{6 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) \cdot 2) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

चरण 3.5.3.2

$2$ को $\cos (2 t)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$6 e^{6 t \sin (2 t)} (t (2 \cdot \cos (2 t)) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

चरण 3.5.4

$6 e^{6 t \sin (2 t)} (t (2 \cos (2 t)) + \sin (2 t) \cdot 1)$

चरण 3.5.5

$\sin (2 t)$ को $1$ से गुणा करें.

$6 e^{6 t \sin (2 t)} (t (2 \cos (2 t)) + \sin (2 t))$

चरण 3.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$6 e^{6 t \sin (2 t)} (t (2 \cos (2 t))) + 6 e^{6 t \sin (2 t)} \sin (2 t)$

चरण 3.6.2

$2$ को $6$ से गुणा करें.

$12 e^{6 t \sin (2 t)} t \cos (2 t) + 6 e^{6 t \sin (2 t)} \sin (2 t)$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = 12 e^{6 t \sin (2 t)} t \cos (2 t) + 6 e^{6 t \sin (2 t)} \sin (2 t)$

चरण 5

$y'$ को $\frac{d y}{d t}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d t} = 12 e^{6 t \sin (2 t)} t \cos (2 t) + 6 e^{6 t \sin (2 t)} \sin (2 t)$