कैलकुलस उदाहरण

$\int_{- 1}^{1} 3^{2 x - 1} d x$

चरण 1

मान लीजिए $u = 2 x - 1$ .फिर $d u = 2 d x$ , तो $\frac{1}{2} d u = d x$ . $u$ और $d$ $u$ का उपयोग करके फिर से लिखें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

मान लें $u = 2 x - 1$ . $\frac{d u}{d x}$ ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.1

$2 x - 1$ को अवकलित करें.

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

चरण 1.1.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.1.3

$\frac{d}{d x} [2 x]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.1.3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.1.3.3

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

चरण 1.1.4

स्थिरांक नियम का उपयोग करके अंतर करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1.4.1

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$2 + 0$

चरण 1.1.4.2

$2$ और $0$ जोड़ें.

$2$

चरण 1.2

$x$ के लिए $u = 2 x - 1$ में निचली सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{lower} = 2 \cdot - 1 - 1$

चरण 1.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$u_{lower} = - 2 - 1$

चरण 1.3.2

$- 2$ में से $1$ घटाएं.

$u_{lower} = - 3$

चरण 1.4

$x$ के लिए $u = 2 x - 1$ में ऊपरी सीमा को प्रतिस्थापित करें.

$u_{upper} = 2 \cdot 1 - 1$

चरण 1.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$u_{upper} = 2 - 1$

चरण 1.5.2

$2$ में से $1$ घटाएं.

$u_{upper} = 1$

चरण 1.6

$u_{lower}$ और $u_{upper}$ के लिए पाए गए मानों का उपयोग निश्चित समाकल का मूल्यांकन करने के लिए किया जाएगा.

$u_{lower} = - 3$

$u_{upper} = 1$

चरण 1.7

$u$ , $d u$ और समाकलन की नई सीमाओं का उपयोग करके समस्या को फिर से लिखें.

$\int_{- 3}^{1} 3^{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

चरण 2

$3^{u}$ और $\frac{1}{2}$ को मिलाएं.

$\int_{- 3}^{1} \frac{3^{u}}{2} d u$

चरण 3

चूँकि $\frac{1}{2}$ बटे $u$ अचर है, $\frac{1}{2}$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} \int_{- 3}^{1} 3^{u} d u$

चरण 4

$u$ के संबंध में $3^{u}$ का इंटीग्रल $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ है.

$\frac{1}{2} \frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{- 3}^{1}$

चरण 5

$\frac{1}{2}$ और $\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{- 3}^{1}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{3^{u}}{\ln (3)}]_{- 3}^{1}}{2}$

चरण 6

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

$1$ पर और $- 3$ पर $\frac{3^{u}}{\ln (3)}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{(\frac{3^{1}}{\ln (3)}) - \frac{3^{- 3}}{\ln (3)}}{2}$

चरण 6.2

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

घातांक का मान ज्ञात करें.

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{3^{- 3}}{\ln (3)}}{2}$

चरण 6.2.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{\frac{1}{3^{3}}}{\ln (3)}}{2}$

चरण 6.2.3

$3$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{\frac{1}{27}}{\ln (3)}}{2}$

चरण 6.2.4

एक गुणनफल के रूप में $\frac{\frac{1}{27}}{\ln (3)}$ को फिर से लिखें.

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - (\frac{1}{27} \cdot \frac{1}{\ln (3)})}{2}$

चरण 6.2.5

$\frac{1}{27}$ को $\frac{1}{\ln (3)}$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{1}{27 \ln (3)}}{2}$

चरण 6.2.6

$\frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{1}{27 \ln (3)}}{2}$ को $\frac{\ln (3)}{\ln (3)}$ से गुणा करें.

$\frac{\ln (3)}{\ln (3)} \cdot \frac{\frac{3}{\ln (3)} - \frac{1}{27 \ln (3)}}{2}$

चरण 6.2.7

जोड़ना.

$\frac{\ln (3) (\frac{3}{\ln (3)} - \frac{1}{27 \ln (3)})}{\ln (3) \cdot 2}$

चरण 6.2.8

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{\ln (3) \frac{3}{\ln (3)} + \ln (3) (- \frac{1}{27 \ln (3)})}{\ln (3) \cdot 2}$

चरण 6.2.9

$\ln (3)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.9.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\ln (3) \frac{3}{\ln (3)} + \ln (3) (- \frac{1}{27 \ln (3)})}{\ln (3) \cdot 2}$

चरण 6.2.9.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{3 + \ln (3) (- \frac{1}{27 \ln (3)})}{\ln (3) \cdot 2}$

चरण 6.2.10

$\ln (3)$ और $\frac{1}{27 \ln (3)}$ को मिलाएं.

$\frac{3 - \frac{\ln (3)}{27 \ln (3)}}{\ln (3) \cdot 2}$

चरण 6.2.11

$\ln (3)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.11.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{3 - \frac{\ln (3)}{27 \ln (3)}}{\ln (3) \cdot 2}$

चरण 6.2.11.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{3 - \frac{1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

चरण 6.2.12

$3$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{27}{27}$ से गुणा करें.

$\frac{3 \cdot \frac{27}{27} - \frac{1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

चरण 6.2.13

$3$ और $\frac{27}{27}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{3 \cdot 27}{27} - \frac{1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

चरण 6.2.14

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\frac{3 \cdot 27 - 1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

चरण 6.2.15

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.15.1

$3$ को $27$ से गुणा करें.

$\frac{\frac{81 - 1}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

चरण 6.2.15.2

$81$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{\frac{80}{27}}{\ln (3) \cdot 2}$

चरण 6.2.16

$2$ को $\ln (3)$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\frac{80}{27}}{2 \cdot \ln (3)}$

चरण 6.2.17

एक गुणनफल के रूप में $\frac{\frac{80}{27}}{2 \ln (3)}$ को फिर से लिखें.

$\frac{80}{27} \cdot \frac{1}{2 \ln (3)}$

चरण 6.2.18

$\frac{80}{27}$ को $\frac{1}{2 \ln (3)}$ से गुणा करें.

$\frac{80}{27 (2 \ln (3))}$

चरण 6.2.19

$2$ को $27$ से गुणा करें.

$\frac{80}{54 \ln (3)}$

चरण 6.2.20

$80$ और $54$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.20.1

$80$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (40)}{54 \ln (3)}$

चरण 6.2.20.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.20.2.1

$54 \ln (3)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (40)}{2 (27 \ln (3))}$

चरण 6.2.20.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 \cdot 40}{2 (27 \ln (3))}$

चरण 6.2.20.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{40}{27 \ln (3)}$

चरण 7

परिणाम कई रूपों में दिखाया जा सकता है.

सटीक रूप:

$\frac{40}{27 \ln (3)}$

दशमलव रूप:

$1.34850255 \dots$

चरण 8