कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{\cos (x)}{1 + \sin (x)})$

चरण 2

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = 1 + \sin (x)$ है.

$\frac{(1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)] - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 3.2

$x$ के संबंध में $\cos (x)$ का व्युत्पन्न $- \sin (x)$ है.

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 3.3

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + \sin (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ है.

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 3.3.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 3.3.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ जोड़ें.

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 3.4

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos (x) \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 3.5

$\cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 3.6

$\cos (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 3.7

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - {\cos (x)}^{1 + 1}}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 3.8

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{(1 + \sin (x)) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 3.9

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1 (- \sin (x)) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 3.9.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.2.1.1

$- \sin (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- \sin (x) + \sin (x) (- \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 3.9.2.1.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{- \sin (x) - \sin (x) \sin (x) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 3.9.2.1.3

$- \sin (x) \sin (x)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.2.1.3.1

$\sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{- \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 3.9.2.1.3.2

$\sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{- \sin (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 3.9.2.1.3.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{- \sin (x) - {\sin (x)}^{1 + 1} - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 3.9.2.1.3.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{- \sin (x) - \sin^{2} (x) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 3.9.2.2

$- \sin^{2} (x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - \cos^{2} (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 3.9.2.3

$- \cos^{2} (x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- \sin (x) - (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 3.9.2.4

$- (\sin^{2} (x)) - (\cos^{2} (x))$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- \sin (x) - (\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 3.9.2.5

पाइथागोरस सर्वसमिका लागू करें.

$\frac{- \sin (x) - 1 \cdot 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 3.9.2.6

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{- \sin (x) - 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 3.9.3

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.3.1

$- \sin (x) - 1$ और ${(1 + \sin (x))}^{2}$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.3.1.1

$- \sin (x)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (\sin (x)) - 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 3.9.3.1.2

$- 1$ को $- 1 (1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- (\sin (x)) - 1 (1)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 3.9.3.1.3

$- (\sin (x)) - 1 (1)$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{- (\sin (x) + 1)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 3.9.3.1.4

$- (\sin (x) + 1)$ को $- 1 (\sin (x) + 1)$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{- 1 (\sin (x) + 1)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 3.9.3.1.5

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{- 1 (1 + \sin (x))}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 3.9.3.1.6

$- 1 (1 + \sin (x))$ में से $1 + \sin (x)$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 1}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 3.9.3.1.7

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.9.3.1.7.1

${(1 + \sin (x))}^{2}$ में से $1 + \sin (x)$ का गुणनखंड करें.

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 1}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

चरण 3.9.3.1.7.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{(1 + \sin (x)) \cdot - 1}{(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))}$

चरण 3.9.3.1.7.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{- 1}{1 + \sin (x)}$

चरण 3.9.3.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{1}{1 + \sin (x)}$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = - \frac{1}{1 + \sin (x)}$

चरण 5

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{1 + \sin (x)}$