कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{e^{y}}{1 + \sin (x)}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{e^{y}}{1 + \sin (x)})$

चरण 2

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = e^{y}$ और $g (x) = 1 + \sin (x)$ है.

$\frac{(1 + \sin (x)) \frac{d}{d x} [e^{y}] - e^{y} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 3.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$\frac{(1 + \sin (x)) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y]) - e^{y} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 3.2.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ $a^{u} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$\frac{(1 + \sin (x)) (e^{u} \frac{d}{d x} [y]) - e^{y} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 3.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$\frac{(1 + \sin (x)) (e^{y} \frac{d}{d x} [y]) - e^{y} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 3.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{(1 + \sin (x)) e^{y} y' - e^{y} \frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 3.4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $1 + \sin (x)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ है.

$\frac{(1 + \sin (x)) e^{y} y' - e^{y} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 3.4.2

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(1 + \sin (x)) e^{y} y' - e^{y} (0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 3.4.3

$0$ और $\frac{d}{d x} [\sin (x)]$ जोड़ें.

$\frac{(1 + \sin (x)) e^{y} y' - e^{y} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 3.5

$x$ के संबंध में $\sin (x)$ का व्युत्पन्न $\cos (x)$ है.

$\frac{(1 + \sin (x)) e^{y} y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 3.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(1 e^{y} + \sin (x) e^{y}) y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 3.6.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{1 e^{y} y' + \sin (x) e^{y} y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 3.6.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.3.1

$e^{y}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{e^{y} y' + \sin (x) e^{y} y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 3.6.3.2

गुणनखंडों को $e^{y} y' + \sin (x) e^{y} y' - e^{y} \cos (x)$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{e^{y} y' + e^{y} \sin (x) y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = \frac{e^{y} y' + e^{y} \sin (x) y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}}$

चरण 5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

दोनों पक्षों को ${(1 + \sin (x))}^{2}$ से गुणा करें.

$y' {(1 + \sin (x))}^{2} = \frac{e^{y} y' + e^{y} \sin (x) y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} {(1 + \sin (x))}^{2}$

चरण 5.2

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$\frac{e^{y} y' + e^{y} \sin (x) y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} {(1 + \sin (x))}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1

${(1 + \sin (x))}^{2}$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$y' {(1 + \sin (x))}^{2} = \frac{e^{y} y' + e^{y} \sin (x) y' - e^{y} \cos (x)}{{(1 + \sin (x))}^{2}} {(1 + \sin (x))}^{2}$

चरण 5.2.1.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$y' {(1 + \sin (x))}^{2} = e^{y} y' + e^{y} \sin (x) y' - e^{y} \cos (x)$

चरण 5.2.1.2

गुणनखंडों को $e^{y} y' + e^{y} \sin (x) y' - e^{y} \cos (x)$ में पुन: क्रमित करें.

$y' {(1 + \sin (x))}^{2} = y' e^{y} + y' e^{y} \sin (x) - e^{y} \cos (x)$

चरण 5.3

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

चूंकि $y'$ समीकरण के दाएं पक्ष की ओर है, पक्षों को स्विच करें ताकि यह समीकरण के बाएं पक्ष की ओर हो.

$y' e^{y} + y' e^{y} \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' {(1 + \sin (x))}^{2}$

चरण 5.3.2

$y' {(1 + \sin (x))}^{2}$ को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

फिर से लिखें.

$y' e^{y} + y' e^{y} \sin (x) - e^{y} \cos (x) = 0 + 0 + y' {(1 + \sin (x))}^{2}$

चरण 5.3.2.2

${(1 + \sin (x))}^{2}$ को $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' ((1 + \sin (x)) (1 + \sin (x)))$

चरण 5.3.2.3

FOIL विधि का उपयोग करके $(1 + \sin (x)) (1 + \sin (x))$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 (1 + \sin (x)) + \sin (x) (1 + \sin (x)))$

चरण 5.3.2.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) (1 + \sin (x)))$

चरण 5.3.2.3.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 \cdot 1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x))$

चरण 5.3.2.4

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.4.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.4.1.1

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + 1 \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x))$

चरण 5.3.2.4.1.2

$\sin (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + \sin (x) + \sin (x) \cdot 1 + \sin (x) \sin (x))$

चरण 5.3.2.4.1.3

$\sin (x)$ को $1$ से गुणा करें.

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin (x) \sin (x))$

चरण 5.3.2.4.1.4

$\sin (x) \sin (x)$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.4.1.4.1

$\sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin (x))$

चरण 5.3.2.4.1.4.2

$\sin (x)$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{1} (x) \sin^{1} (x))$

चरण 5.3.2.4.1.4.3

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + \sin (x) + \sin (x) + {\sin (x)}^{1 + 1})$

चरण 5.3.2.4.1.4.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + \sin (x) + \sin (x) + \sin^{2} (x))$

चरण 5.3.2.4.2

$\sin (x)$ और $\sin (x)$ जोड़ें.

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x))$

चरण 5.3.2.5

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' \cdot 1 + y' (2 \sin (x)) + y' (\sin^{2} (x))$

चरण 5.3.2.6

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.6.1

$y'$ को $1$ से गुणा करें.

$y' (e^{y}) + y' (e^{y}) \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' + y' (2 \sin (x)) + y' (\sin^{2} (x))$

चरण 5.3.2.6.2

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$y' e^{y} + y' e^{y} \sin (x) - e^{y} \cos (x) = y' + 2 y' \sin (x) + y' \sin^{2} (x)$

चरण 5.3.3

$y' + 2 y' \sin (x) + y' \sin^{2} (x) = y' e^{y} + y' e^{y} \sin (x) - e^{y} \cos (x)$

चरण 5.3.4

$y'$ वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं ओर ले जाएँ.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.4.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $y' e^{y}$ घटाएं.

$y' + 2 y' \sin (x) + y' \sin^{2} (x) - y' e^{y} = y' e^{y} \sin (x) - e^{y} \cos (x)$

चरण 5.3.4.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $y' e^{y} \sin (x)$ घटाएं.

$y' + 2 y' \sin (x) + y' \sin^{2} (x) - y' e^{y} - y' e^{y} \sin (x) = - e^{y} \cos (x)$

चरण 5.3.5

$y' + 2 y' \sin (x) + y' \sin^{2} (x) - y' e^{y} - y' e^{y} \sin (x)$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.5.1

${y'}^{1}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' \cdot 1 + 2 y' \sin (x) + y' \sin^{2} (x) - y' e^{y} - y' e^{y} \sin (x) = - e^{y} \cos (x)$

चरण 5.3.5.2

$2 y' \sin (x)$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' \cdot 1 + y' (2 \sin (x)) + y' (\sin^{2} (x)) - y' e^{y} - y' e^{y} \sin (x) = - e^{y} \cos (x)$

चरण 5.3.5.3

$y' \sin^{2} (x)$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' \cdot 1 + y' (2 \sin (x)) + y' (\sin^{2} (x)) - y' e^{y} - y' e^{y} \sin (x) = - e^{y} \cos (x)$

चरण 5.3.5.4

$- y' e^{y}$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' \cdot 1 + y' (2 \sin (x)) + y' (\sin^{2} (x)) + y' (- 1 e^{y}) - y' e^{y} \sin (x) = - e^{y} \cos (x)$

चरण 5.3.5.5

$- y' e^{y} \sin (x)$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' \cdot 1 + y' (2 \sin (x)) + y' (\sin^{2} (x)) + y' (- 1 e^{y}) + y' (- 1 e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$

चरण 5.3.5.6

$y' \cdot 1 + y' (2 \sin (x))$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' \cdot (1 + 2 \sin (x)) + y' (\sin^{2} (x)) + y' (- 1 e^{y}) + y' (- 1 e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$

चरण 5.3.5.7

$y' \cdot (1 + 2 \sin (x)) + y' \sin^{2} (x)$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' \cdot (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)) + y' (- 1 e^{y}) + y' (- 1 e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$

चरण 5.3.5.8

$y' \cdot (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x)) + y' (- 1 e^{y})$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' \cdot (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 1 e^{y}) + y' (- 1 e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$

चरण 5.3.5.9

$y' \cdot (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 1 e^{y}) + y' (- 1 e^{y} \sin (x))$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - 1 e^{y} - 1 e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$

चरण 5.3.6

$- 1 e^{y}$ को $- e^{y}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - 1 e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$

चरण 5.3.7

$- 1 e^{y}$ को $- e^{y}$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$

चरण 5.3.8

$y' (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$ के प्रत्येक पद को $1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.8.1

$y' (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)) = - e^{y} \cos (x)$ के प्रत्येक पद को $1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)$ से विभाजित करें.

$\frac{y' (1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x))}{1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)} = \frac{- e^{y} \cos (x)}{1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)}$

चरण 5.3.8.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.8.2.1

$1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.8.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

चरण 5.3.8.2.1.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{- e^{y} \cos (x)}{1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)}$

चरण 5.3.8.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.8.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$y' = - \frac{e^{y} \cos (x)}{1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{e^{y} \cos (x)}{1 + 2 \sin (x) + \sin^{2} (x) - e^{y} - e^{y} \sin (x)}$