कैलकुलस उदाहरण

$x \ln (y) + 2 y = 2 x^{3}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (x \ln (y) + 2 y) = \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

चरण 2

समीकरण के बाएँ पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x \ln (y) + 2 y$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x \ln (y)] + \frac{d}{d x} [2 y]$ है.

$\frac{d}{d x} [x \ln (y)] + \frac{d}{d x} [2 y]$

चरण 2.2

$\frac{d}{d x} [x \ln (y)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = \ln (y)$ है.

$x \frac{d}{d x} [\ln (y)] + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

चरण 2.2.2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = y$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.2.2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $y$ के रूप में सेट करें.

$x (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

चरण 2.2.2.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$x (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

चरण 2.2.2.3

$u$ की सभी घटनाओं को $y$ से बदलें.

$x (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]) + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

चरण 2.2.3

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$x (\frac{1}{y} y') + \ln (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

चरण 2.2.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$x (\frac{1}{y} y') + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

चरण 2.2.5

$\frac{1}{y}$ और $y'$ को मिलाएं.

$x \frac{y'}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

चरण 2.2.6

$x$ और $\frac{y'}{y}$ को मिलाएं.

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

चरण 2.2.7

$\ln (y)$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + \frac{d}{d x} [2 y]$

चरण 2.3

$\frac{d}{d x} [2 y]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 y$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [y]$ है.

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + 2 \frac{d}{d x} [y]$

चरण 2.3.2

$\frac{d}{d x} [y]$ को $y'$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{x y'}{y} + \ln (y) + 2 y'$

चरण 2.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$2 y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y)$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x^{3}$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$2 (3 x^{2})$

चरण 3.3

$3$ को $2$ से गुणा करें.

$6 x^{2}$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$2 y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) = 6 x^{2}$

चरण 5

$y'$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1

समीकरण के पदों का LCD पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.1.1

मान की एक सूची के LCD को पता करना उन मान के भाजक के LCM को पता करने के समान है.

$1, y, 1, 1$

चरण 5.1.2

एक और किसी भी व्यंजक का LCM (लघुत्तम समापवर्तक) व्यंजक है.

$y$

चरण 5.2

भिन्नों को हटाने के लिए $2 y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) = 6 x^{2}$ के प्रत्येक पद को $y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.1

$2 y' + \frac{x y'}{y} + \ln (y) = 6 x^{2}$ के प्रत्येक पद को $y$ से गुणा करें.

$2 y' y + \frac{x y'}{y} y + \ln (y) y = 6 x^{2} y$

चरण 5.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1

$y$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.2.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$2 y' y + \frac{x y'}{y} y + \ln (y) y = 6 x^{2} y$

चरण 5.2.2.1.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$2 y' y + x y' + \ln (y) y = 6 x^{2} y$

चरण 5.2.2.2

गुणनखंडों को $2 y' y + x y' + \ln (y) y$ में पुन: क्रमित करें.

$2 y' y + x y' + y \ln (y) = 6 x^{2} y$

चरण 5.3

समीकरण को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $y \ln (y)$ घटाएं.

$2 y' y + x y' = 6 x^{2} y - y \ln (y)$

चरण 5.3.2

$2 y' y + x y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.2.1

$2 y' y$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (2 y) + x (y') = 6 x^{2} y - y \ln (y)$

चरण 5.3.2.2

$x y'$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (2 y) + y' (x) = 6 x^{2} y - y \ln (y)$

चरण 5.3.2.3

$y' (2 y) + y' (x)$ में से $y'$ का गुणनखंड करें.

$y' (2 y + x) = 6 x^{2} y - y \ln (y)$

चरण 5.3.3

$y' (2 y + x) = 6 x^{2} y - y \ln (y)$ के प्रत्येक पद को $2 y + x$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.1

$y' (2 y + x) = 6 x^{2} y - y \ln (y)$ के प्रत्येक पद को $2 y + x$ से विभाजित करें.

$\frac{y' (2 y + x)}{2 y + x} = \frac{6 x^{2} y}{2 y + x} + \frac{- y \ln (y)}{2 y + x}$

चरण 5.3.3.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.2.1

$2 y + x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{y' (2 y + x)}{2 y + x} = \frac{6 x^{2} y}{2 y + x} + \frac{- y \ln (y)}{2 y + x}$

चरण 5.3.3.2.1.2

$y'$ को $1$ से विभाजित करें.

$y' = \frac{6 x^{2} y}{2 y + x} + \frac{- y \ln (y)}{2 y + x}$

चरण 5.3.3.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.3.1

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$y' = \frac{6 x^{2} y - y \ln (y)}{2 y + x}$

चरण 5.3.3.3.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.3.2.1

$6 x^{2} y - y \ln (y)$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 5.3.3.3.2.1.1

$6 x^{2} y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{y (6 x^{2}) - y \ln (y)}{2 y + x}$

चरण 5.3.3.3.2.1.2

$- y \ln (y)$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{y (6 x^{2}) + y (- 1 \ln (y))}{2 y + x}$

चरण 5.3.3.3.2.1.3

$y (6 x^{2}) + y (- 1 \ln (y))$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$y' = \frac{y (6 x^{2} - 1 \ln (y))}{2 y + x}$

चरण 5.3.3.3.2.2

$- 1 \ln (y)$ को $- \ln (y)$ के रूप में फिर से लिखें.

$y' = \frac{y (6 x^{2} - \ln (y))}{2 y + x}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (6 x^{2} - \ln (y))}{2 y + x}$