कैलकुलस उदाहरण

$y = (x + \frac{1}{x}) (x - \frac{1}{x})$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((x + \frac{1}{x}) (x - \frac{1}{x}))$

चरण 2

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x + \frac{1}{x}$ और $g (x) = x - \frac{1}{x}$ है.

$(x + \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x - \frac{1}{x}] + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

चरण 3.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - \frac{1}{x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ है.

$(x + \frac{1}{x}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

चरण 3.2.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$(x + \frac{1}{x}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

चरण 3.3

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = - 1$ और $g (x) = \frac{1}{x}$ है.

$(x + \frac{1}{x}) (1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

चरण 3.4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$\frac{1}{x}$ को $x^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$(x + \frac{1}{x}) (1 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

चरण 3.4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = - 1$ है.

$(x + \frac{1}{x}) (1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

चरण 3.4.3

गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.3.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$(x + \frac{1}{x}) (1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

चरण 3.4.3.2

$x^{- 2}$ को $1$ से गुणा करें.

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

चरण 3.4.4

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

चरण 3.4.5

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.5.1

$\frac{1}{x}$ को $0$ से गुणा करें.

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2} + 0) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

चरण 3.4.5.2

$1 + x^{- 2}$ और $0$ जोड़ें.

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2}) + (x - \frac{1}{x}) \frac{d}{d x} [x + \frac{1}{x}]$

चरण 3.4.6

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x + \frac{1}{x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ है.

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2}) + (x - \frac{1}{x}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

चरण 3.4.7

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2}) + (x - \frac{1}{x}) (1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

चरण 3.4.8

$\frac{1}{x}$ को $x^{- 1}$ के रूप में फिर से लिखें.

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2}) + (x - \frac{1}{x}) (1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}])$

चरण 3.4.9

$(x + \frac{1}{x}) (1 + x^{- 2}) + (x - \frac{1}{x}) (1 - x^{- 2})$

चरण 3.5

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$(x + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}}) + (x - \frac{1}{x}) (1 - x^{- 2})$

चरण 3.5.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$(x + \frac{1}{x}) (1 + \frac{1}{x^{2}}) + (x - \frac{1}{x}) (1 - \frac{1}{x^{2}})$

चरण 3.5.3

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$(1 + \frac{1}{x^{2}}) (x + \frac{1}{x}) + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

चरण 3.5.4

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.1

FOIL विधि का उपयोग करके $(1 + \frac{1}{x^{2}}) (x + \frac{1}{x})$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$1 (x + \frac{1}{x}) + \frac{1}{x^{2}} (x + \frac{1}{x}) + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

चरण 3.5.4.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$1 x + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} (x + \frac{1}{x}) + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

चरण 3.5.4.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$1 x + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} x + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

चरण 3.5.4.2

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.2.1.1

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$x + 1 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} x + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

चरण 3.5.4.2.1.2

$\frac{1}{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} x + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

चरण 3.5.4.2.1.3

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.2.1.3.1

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x \cdot x} x + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

चरण 3.5.4.2.1.3.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x \cdot x} x + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

चरण 3.5.4.2.1.3.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

चरण 3.5.4.2.1.4

जोड़ना.

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1 \cdot 1}{x^{2} x} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

चरण 3.5.4.2.1.5

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.2.1.5.1

$x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.2.1.5.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1 \cdot 1}{x^{2} x^{1}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

चरण 3.5.4.2.1.5.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1 \cdot 1}{x^{2 + 1}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

चरण 3.5.4.2.1.5.2

$2$ और $1$ जोड़ें.

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1 \cdot 1}{x^{3}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

चरण 3.5.4.2.1.6

$1$ को $1$ से गुणा करें.

$x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

चरण 3.5.4.2.2

$\frac{1}{x}$ और $\frac{1}{x}$ जोड़ें.

$x + 2 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

चरण 3.5.4.3

$2$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + (1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$

चरण 3.5.4.4

FOIL विधि का उपयोग करके $(1 - \frac{1}{x^{2}}) (x - \frac{1}{x})$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.4.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + 1 (x - \frac{1}{x}) - \frac{1}{x^{2}} (x - \frac{1}{x})$

चरण 3.5.4.4.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + 1 x + 1 (- \frac{1}{x}) - \frac{1}{x^{2}} (x - \frac{1}{x})$

चरण 3.5.4.4.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + 1 x + 1 (- \frac{1}{x}) - \frac{1}{x^{2}} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

चरण 3.5.4.5

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.5.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.5.1.1

$x$ को $1$ से गुणा करें.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x + 1 (- \frac{1}{x}) - \frac{1}{x^{2}} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

चरण 3.5.4.5.1.2

$- \frac{1}{x}$ को $1$ से गुणा करें.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

चरण 3.5.4.5.1.3

$x$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.5.1.3.1

$- \frac{1}{x^{2}}$ में अग्रणी ऋणात्मक को न्यूमेरेटर में ले जाएं.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x^{2}} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

चरण 3.5.4.5.1.3.2

$x^{2}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x \cdot x} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

चरण 3.5.4.5.1.3.3

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x \cdot x} x - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

चरण 3.5.4.5.1.3.4

व्यंजक को फिर से लिखें.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} + \frac{- 1}{x} - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

चरण 3.5.4.5.1.4

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$

चरण 3.5.4.5.1.5

$- \frac{1}{x^{2}} (- \frac{1}{x})$ गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.5.1.5.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + 1 \frac{1}{x^{2}} \frac{1}{x}$

चरण 3.5.4.5.1.5.2

$\frac{1}{x^{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{x}$

चरण 3.5.4.5.1.5.3

$\frac{1}{x^{2}}$ को $\frac{1}{x}$ से गुणा करें.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2} x}$

चरण 3.5.4.5.1.5.4

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.5.1.5.4.1

$x^{2}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.5.1.5.4.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2} x^{1}}$

चरण 3.5.4.5.1.5.4.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2 + 1}}$

चरण 3.5.4.5.1.5.4.2

$2$ और $1$ जोड़ें.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{1}{x} - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}$

चरण 3.5.4.5.2

$- \frac{1}{x}$ में से $\frac{1}{x}$ घटाएं.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - 2 \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}$

चरण 3.5.4.6

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.4.6.1

$- 2$ और $\frac{1}{x}$ को मिलाएं.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x + \frac{- 2}{x} + \frac{1}{x^{3}}$

चरण 3.5.4.6.2

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}}$

चरण 3.5.5

$x + \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}} + x - \frac{2}{x} + \frac{1}{x^{3}}$ में विपरीत पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.5.1

$\frac{2}{x}$ में से $\frac{2}{x}$ घटाएं.

$x + \frac{1}{x^{3}} + x + 0 + \frac{1}{x^{3}}$

चरण 3.5.5.2

$x + \frac{1}{x^{3}} + x$ और $0$ जोड़ें.

$x + \frac{1}{x^{3}} + x + \frac{1}{x^{3}}$

चरण 3.5.6

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$x + x + \frac{1 + 1}{x^{3}}$

चरण 3.5.7

$1$ और $1$ जोड़ें.

$x + x + \frac{2}{x^{3}}$

चरण 3.5.8

$x$ और $x$ जोड़ें.

$2 x + \frac{2}{x^{3}}$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = 2 x + \frac{2}{x^{3}}$

चरण 5

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = 2 x + \frac{2}{x^{3}}$