कैलकुलस उदाहरण

$y = x^{8} \ln (x - \frac{1}{5} x^{5})$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{8} \ln (x - \frac{1}{5} x^{5}))$

चरण 2

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

$x^{5}$ और $\frac{1}{5}$ को मिलाएं.

$\frac{d}{d x} [x^{8} \ln (x - \frac{x^{5}}{5})]$

चरण 3.2

गुणनफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ है, जहाँ $f (x) = x^{8}$ और $g (x) = \ln (x - \frac{x^{5}}{5})$ है.

$x^{8} \frac{d}{d x} [\ln (x - \frac{x^{5}}{5})] + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

चरण 3.3

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x - \frac{x^{5}}{5}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x - \frac{x^{5}}{5}$ के रूप में सेट करें.

$x^{8} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{5}}{5}]) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

चरण 3.3.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$x^{8} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{5}}{5}]) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

चरण 3.3.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x - \frac{x^{5}}{5}$ से बदलें.

$x^{8} (\frac{1}{x - \frac{x^{5}}{5}} \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{5}}{5}]) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

चरण 3.4

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$\frac{1}{x - \frac{x^{5}}{5}}$ और $x^{8}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} \frac{d}{d x} [x - \frac{x^{5}}{5}] + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

चरण 3.4.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - \frac{x^{5}}{5}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{5}]$ है.

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{5}]) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

चरण 3.4.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{x^{5}}{5}]) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

चरण 3.4.4

चूंकि $- \frac{1}{5}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- \frac{x^{5}}{5}$ का व्युत्पन्न $- \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ है.

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 - \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

चरण 3.4.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 5$ है.

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 - \frac{1}{5} (5 x^{4})) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

चरण 3.4.6

पदों को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.6.1

$5$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 - 5 (\frac{1}{5}) x^{4}) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

चरण 3.4.6.2

$- 5$ और $\frac{1}{5}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 + \frac{- 5}{5} x^{4}) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

चरण 3.4.6.3

$\frac{- 5}{5}$ और $x^{4}$ को मिलाएं.

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 + \frac{- 5 x^{4}}{5}) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

चरण 3.4.6.4

$- 5$ और $5$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.6.4.1

$- 5 x^{4}$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 + \frac{5 (- x^{4})}{5}) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

चरण 3.4.6.4.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.6.4.2.1

$5$ में से $5$ का गुणनखंड करें.

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 + \frac{5 (- x^{4})}{5 (1)}) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

चरण 3.4.6.4.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 + \frac{5 (- x^{4})}{5 \cdot 1}) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

चरण 3.4.6.4.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 + \frac{- x^{4}}{1}) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

चरण 3.4.6.4.2.4

$- x^{4}$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 - x^{4}) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) \frac{d}{d x} [x^{8}]$

चरण 3.4.7

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 8$ है.

$\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} (1 - x^{4}) + \ln (x - \frac{x^{5}}{5}) (8 x^{7})$

चरण 3.4.8

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$(1 - x^{4}) \frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}} + 8 x^{7} \ln (x - \frac{x^{5}}{5})$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = (1 - x^{4}) (\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}}) + 8 x^{7} \ln (x - \frac{x^{5}}{5})$

चरण 5

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = (1 - x^{4}) (\frac{x^{8}}{x - \frac{x^{5}}{5}}) + 8 x^{7} \ln (x - \frac{x^{5}}{5})$