कैलकुलस उदाहरण

$y = x$ , $y = x^{3}$ , $x = 0$ , $x = 1$

चरण 1

वक्रों के बीच प्रतिच्छेदन ज्ञात करने के लिए प्रतिस्थापन द्वारा हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.1

प्रत्येक समीकरण के बराबर पक्षों का विलोप करें और संयोजित करें.

$x = x^{3}$

चरण 1.2

$x$ के लिए $x = x^{3}$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $x^{3}$ घटाएं.

$x - x^{3} = 0$

चरण 1.2.2

समीकरण के बाएँ पक्ष का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1

$x - x^{3}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.1.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$x - x^{3} = 0$

चरण 1.2.2.1.2

$x^{1}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x \cdot 1 - x^{3} = 0$

चरण 1.2.2.1.3

$- x^{3}$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x \cdot 1 + x (- x^{2}) = 0$

चरण 1.2.2.1.4

$x \cdot 1 + x (- x^{2})$ में से $x$ का गुणनखंड करें.

$x (1 - x^{2}) = 0$

चरण 1.2.2.2

$1$ को $1^{2}$ के रूप में फिर से लिखें.

$x (1^{2} - x^{2}) = 0$

चरण 1.2.2.3

गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.2.3.1

चूंकि दोनों पद पूर्ण वर्ग हैं, इसलिए वर्ग सूत्र $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ के अंतर का उपयोग करके गुणनखंड निकालें जहां $a = 1$ और $b = x$ .

$x ((1 + x) (1 - x)) = 0$

चरण 1.2.2.3.2

अनावश्यक कोष्ठक हटा दें.

$x (1 + x) (1 - x) = 0$

चरण 1.2.3

यदि समीकरण के बांये पक्ष में कोई अकेला गुणनखंड $0$ के बराबर हो, तो सम्पूर्ण व्यंजक $0$ के बराबर होगा.

$x = 0$

$1 + x = 0$

$1 - x = 0 + y = x^{3}$

चरण 1.2.4

$x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$x = 0$

चरण 1.2.5

$1 + x$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.5.1

$1 + x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$1 + x = 0$

चरण 1.2.5.2

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$x = - 1$

चरण 1.2.6

$1 - x$ को $0$ के बराबर सेट करें और $x$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.1

$1 - x$ को $0$ के बराबर सेट करें.

$1 - x = 0$

चरण 1.2.6.2

$x$ के लिए $1 - x = 0$ हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.2.1

समीकरण के दोनों पक्षों से $1$ घटाएं.

$- x = - 1$

चरण 1.2.6.2.2

$- x = - 1$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.2.2.1

$- x = - 1$ के प्रत्येक पद को $- 1$ से विभाजित करें.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

चरण 1.2.6.2.2.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.2.2.2.1

दो नकारात्मक मानों को विभाजित करने से एक सकारात्मक परिणाम प्राप्त होता है.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

चरण 1.2.6.2.2.2.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{- 1}{- 1}$

चरण 1.2.6.2.2.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.2.6.2.2.3.1

$- 1$ को $- 1$ से विभाजित करें.

$x = 1$

चरण 1.2.7

अंतिम हल वो सभी मान हैं जो $x (1 + x) (1 - x) = 0$ को सिद्ध करते हैं.

$x = 0, - 1, 1$

चरण 1.3

$y$ का मूल्यांकन करें जब $x = 0$ हो.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.1

$0$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = {(0)}^{3}$

चरण 1.3.2

$0$ को $x$ के लिए $y = {(0)}^{3}$ में प्रतिस्थापित करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.3.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = 0^{3}$

चरण 1.3.2.2

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$y = 0$

चरण 1.4

$y$ का मूल्यांकन करें जब $x = - 1$ हो.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.4.1

$- 1$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = {(- 1)}^{3}$

चरण 1.4.2

$- 1$ को $3$ के घात तक बढ़ाएं.

$y = - 1$

चरण 1.5

$y$ का मूल्यांकन करें जब $x = 1$ हो.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.1

$1$ को $x$ से प्रतिस्थापित करें.

$y = {(1)}^{3}$

चरण 1.5.2

$1$ को $x$ के लिए $y = {(1)}^{3}$ में प्रतिस्थापित करें और $y$ के लिए हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 1.5.2.1

कोष्ठक हटा दें.

$y = 1^{3}$

चरण 1.5.2.2

एक का कोई भी घात एक होता है.

$y = 1$

चरण 1.6

सिस्टम का हल क्रमित युग्म का पूरा सेट है जो मान्य हल हैं.

$(0, 0)$

$(- 1, - 1)$

$(1, 1)$

$(0, 0)$

$(- 1, - 1)$

$(1, 1)$

चरण 2

वक्रों के बीच के क्षेत्र के क्षेत्रफल को ऊपरी वक्र के अवकलन से निचले वक्र के अवकलन को घटाने के रूप में परिभाषित किया जाता है. क्षेत्रों का निर्धारण वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं द्वारा किया जाता है. यह बीजगणितीय या आलेखीय रूप से किया जा सकता है.

$A r e a = \int_{0}^{1} x d x - \int_{0}^{1} x^{3} d x$

चरण 3

$0$ और $1$ के बीच के क्षेत्र को पता करने के लिए समेकित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

समाकलन को एकल समाकलन में जोड़ें.

$\int_{0}^{1} x - (x^{3}) d x$

चरण 3.2

$- 1$ को $x^{3}$ से गुणा करें.

$\int_{0}^{1} x - x^{3} d x$

चरण 3.3

एकल समाकलन को कई समाकलन में विभाजित करें.

$\int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} - x^{3} d x$

चरण 3.4

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x$ का समाकलन $\frac{1}{2} x^{2}$ है.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - x^{3} d x$

चरण 3.5

चूँकि $- 1$ बटे $x$ अचर है, $- 1$ को समाकलन से हटा दें.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x^{3} d x$

चरण 3.6

घात नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3}$ का समाकलन $\frac{1}{4} x^{4}$ है.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} - (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{1})$

चरण 3.7

उत्तर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.1

$\frac{1}{4}$ और $x^{4}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{1} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1})$

चरण 3.7.2

प्रतिस्थापित करें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.2.1

$1$ पर और $0$ पर $\frac{1}{2} x^{2}$ का मान ज्ञात करें.

$(\frac{1}{2} \cdot 1^{2}) - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{1})$

चरण 3.7.2.2

$1$ पर और $0$ पर $\frac{x^{4}}{4}$ का मान ज्ञात करें.

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

चरण 3.7.2.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.2.3.1

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

चरण 3.7.2.3.2

$\frac{1}{2}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0^{2} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

चरण 3.7.2.3.3

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot 0 - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

चरण 3.7.2.3.4

$0$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} + 0 (\frac{1}{2}) - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

चरण 3.7.2.3.5

$0$ को $\frac{1}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} + 0 - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

चरण 3.7.2.3.6

$\frac{1}{2}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{2} - (\frac{1^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

चरण 3.7.2.3.7

एक का कोई भी घात एक होता है.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{0^{4}}{4})$

चरण 3.7.2.3.8

$0$ को किसी भी धनात्मक घात तक बढ़ाने से $0$ प्राप्त होता है.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{0}{4})$

चरण 3.7.2.3.9

$0$ और $4$ के उभयनिष्ठ गुणनखंड को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.2.3.9.1

$0$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

चरण 3.7.2.3.9.2

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.2.3.9.2.1

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

चरण 3.7.2.3.9.2.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

चरण 3.7.2.3.9.2.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - \frac{0}{1})$

चरण 3.7.2.3.9.2.4

$0$ को $1$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} - 0)$

चरण 3.7.2.3.10

$- 1$ को $0$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} - (\frac{1}{4} + 0)$

चरण 3.7.2.3.11

$\frac{1}{4}$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{4}$

चरण 3.7.2.3.12

$\frac{1}{2}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{4}$

चरण 3.7.2.3.13

प्रत्येक व्यंजक को $4$ के सामान्य भाजक के साथ लिखें, प्रत्येक को $1$ के उपयुक्त गुणनखंड से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.7.2.3.13.1

$\frac{1}{2}$ को $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{2}{2 \cdot 2} - \frac{1}{4}$

चरण 3.7.2.3.13.2

$2$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{2}{4} - \frac{1}{4}$

चरण 3.7.2.3.14

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 - 1}{4}$

चरण 3.7.2.3.15

$2$ में से $1$ घटाएं.

$\frac{1}{4}$

चरण 4