कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{x}{\sqrt{x - 1}}$

चरण 1

$\sqrt{x - 1}$ को ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$y = \frac{x}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

चरण 2

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

चरण 3

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 4

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x$ और $g (x) = {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ है.

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

चरण 4.2

घातांक को ${({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ में गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.1

घात नियम लागू करें और घातांक गुणा करें, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 4.2.2

$2$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.2.2.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

चरण 4.2.2.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{{(x - 1)}^{1}}$

चरण 4.3

सरल करें.

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x - 1}$

चरण 4.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.4.1

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x - 1}$

चरण 4.4.2

${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x \frac{d}{d x} [{(x - 1)}^{\frac{1}{2}}]}{x - 1}$

चरण 4.5

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ और $g (x) = x - 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.5.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x - 1$ के रूप में सेट करें.

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

चरण 4.5.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ $n u^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

चरण 4.5.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x - 1$ से बदलें.

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

चरण 4.6

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

चरण 4.7

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

चरण 4.8

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

चरण 4.9

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.9.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

चरण 4.9.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

चरण 4.10

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.10.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2} {(x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

चरण 4.10.2

$\frac{1}{2}$ और ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{{(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

चरण 4.10.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके ${(x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - x (\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 1])}{x - 1}$

चरण 4.10.4

$\frac{1}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 1]}{x - 1}$

चरण 4.11

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x - 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ है.

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{x - 1}$

चरण 4.12

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{x - 1}$

चरण 4.13

चूंकि $x$ के संबंध में $- 1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)}{x - 1}$

चरण 4.14

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.14.1

$1$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1}{x - 1}$

चरण 4.14.2

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$

चरण 4.15

${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ से गुणा करें.

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$

चरण 4.16

${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ और $\frac{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ को मिलाएं.

$\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} - \frac{x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$

चरण 4.17

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$

चरण 4.18

घातांक जोड़कर ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ को ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.18.1

${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ ले जाएं.

$\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2}} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$

चरण 4.18.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$

चरण 4.18.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$

चरण 4.18.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{\frac{{(x - 1)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$

चरण 4.18.5

$2$ को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{\frac{{(x - 1)}^{1} \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$

चरण 4.19

${(x - 1)}^{1} \cdot 2$ को सरल करें.

$\frac{\frac{(x - 1) \cdot 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$

चरण 4.20

$2$ को $x - 1$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{\frac{2 \cdot (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$

चरण 4.21

एक गुणनफल के रूप में $\frac{\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}}{x - 1}$ को फिर से लिखें.

$\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{x - 1}$

चरण 4.22

$\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ को $\frac{1}{x - 1}$ से गुणा करें.

$\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x - 1)}$

चरण 4.23

$x - 1$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 (x - 1) - x}{2 ({(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}$

चरण 4.24

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{1 + \frac{1}{2}}}$

चरण 4.25

एक सामान्य भाजक के साथ $1$ को भिन्न के रूप में लिखें.

$\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}$

चरण 4.26

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{2 + 1}{2}}}$

चरण 4.27

$2$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{2 (x - 1) - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 4.28

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.28.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x + 2 \cdot - 1 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 4.28.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.28.2.1

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{2 x - 2 - x}{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 4.28.2.2

$2 x$ में से $x$ घटाएं.

$\frac{x - 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 5

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = \frac{x - 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x - 2}{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}$