कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{5 x^{2} - 9 x + 13}{2 x + 4}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{5 x^{2} - 9 x + 13}{2 x + 4})$

चरण 2

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = 5 x^{2} - 9 x + 13$ और $g (x) = 2 x + 4$ है.

$\frac{(2 x + 4) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 9 x + 13] - (5 x^{2} - 9 x + 13) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

चरण 3.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $5 x^{2} - 9 x + 13$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [13]$ है.

$\frac{(2 x + 4) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [13]) - (5 x^{2} - 9 x + 13) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

चरण 3.2.2

चूंकि $5$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $5 x^{2}$ का व्युत्पन्न $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{(2 x + 4) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [13]) - (5 x^{2} - 9 x + 13) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

चरण 3.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{(2 x + 4) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [13]) - (5 x^{2} - 9 x + 13) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

चरण 3.2.4

$2$ को $5$ से गुणा करें.

$\frac{(2 x + 4) (10 x + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [13]) - (5 x^{2} - 9 x + 13) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

चरण 3.2.5

चूंकि $- 9$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- 9 x$ का व्युत्पन्न $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [13]) - (5 x^{2} - 9 x + 13) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

चरण 3.2.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [13]) - (5 x^{2} - 9 x + 13) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

चरण 3.2.7

$- 9$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9 + \frac{d}{d x} [13]) - (5 x^{2} - 9 x + 13) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

चरण 3.2.8

चूंकि $x$ के संबंध में $13$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $13$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9 + 0) - (5 x^{2} - 9 x + 13) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

चरण 3.2.9

$10 x - 9$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 13) \frac{d}{d x} [2 x + 4]}{{(2 x + 4)}^{2}}$

चरण 3.2.10

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $2 x + 4$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4]$ है.

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 13) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

चरण 3.2.11

चूंकि $2$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $2 x$ का व्युत्पन्न $2 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 13) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

चरण 3.2.12

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 13) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

चरण 3.2.13

$2$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 13) (2 + \frac{d}{d x} [4])}{{(2 x + 4)}^{2}}$

चरण 3.2.14

चूंकि $x$ के संबंध में $4$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $4$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 13) (2 + 0)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

चरण 3.2.15

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.15.1

$2$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - (5 x^{2} - 9 x + 13) \cdot 2}{{(2 x + 4)}^{2}}$

चरण 3.2.15.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - 2 (5 x^{2} - 9 x + 13)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

चरण 3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(2 x + 4) (10 x - 9) - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 13}{{(2 x + 4)}^{2}}$

चरण 3.3.2

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.1

FOIL विधि का उपयोग करके $(2 x + 4) (10 x - 9)$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x (10 x - 9) + 4 (10 x - 9) - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 13}{{(2 x + 4)}^{2}}$

चरण 3.3.2.1.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x (10 x) + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x - 9) - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 13}{{(2 x + 4)}^{2}}$

चरण 3.3.2.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{2 x (10 x) + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 13}{{(2 x + 4)}^{2}}$

चरण 3.3.2.1.2

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.2.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{2 \cdot 10 x \cdot x + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 13}{{(2 x + 4)}^{2}}$

चरण 3.3.2.1.2.1.2

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.2.1.2.1.2.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{2 \cdot 10 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 13}{{(2 x + 4)}^{2}}$

चरण 3.3.2.1.2.1.2.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{2 \cdot 10 x^{2} + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 13}{{(2 x + 4)}^{2}}$

चरण 3.3.2.1.2.1.3

$2$ को $10$ से गुणा करें.

$\frac{20 x^{2} + 2 x \cdot - 9 + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 13}{{(2 x + 4)}^{2}}$

चरण 3.3.2.1.2.1.4

$- 9$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{20 x^{2} - 18 x + 4 (10 x) + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 13}{{(2 x + 4)}^{2}}$

चरण 3.3.2.1.2.1.5

$10$ को $4$ से गुणा करें.

$\frac{20 x^{2} - 18 x + 40 x + 4 \cdot - 9 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 13}{{(2 x + 4)}^{2}}$

चरण 3.3.2.1.2.1.6

$4$ को $- 9$ से गुणा करें.

$\frac{20 x^{2} - 18 x + 40 x - 36 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 13}{{(2 x + 4)}^{2}}$

चरण 3.3.2.1.2.2

$- 18 x$ और $40 x$ जोड़ें.

$\frac{20 x^{2} + 22 x - 36 - 2 (5 x^{2}) - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 13}{{(2 x + 4)}^{2}}$

चरण 3.3.2.1.3

$5$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{20 x^{2} + 22 x - 36 - 10 x^{2} - 2 (- 9 x) - 2 \cdot 13}{{(2 x + 4)}^{2}}$

चरण 3.3.2.1.4

$- 9$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{20 x^{2} + 22 x - 36 - 10 x^{2} + 18 x - 2 \cdot 13}{{(2 x + 4)}^{2}}$

चरण 3.3.2.1.5

$- 2$ को $13$ से गुणा करें.

$\frac{20 x^{2} + 22 x - 36 - 10 x^{2} + 18 x - 26}{{(2 x + 4)}^{2}}$

चरण 3.3.2.2

$20 x^{2}$ में से $10 x^{2}$ घटाएं.

$\frac{10 x^{2} + 22 x - 36 + 18 x - 26}{{(2 x + 4)}^{2}}$

चरण 3.3.2.3

$22 x$ और $18 x$ जोड़ें.

$\frac{10 x^{2} + 40 x - 36 - 26}{{(2 x + 4)}^{2}}$

चरण 3.3.2.4

$- 36$ में से $26$ घटाएं.

$\frac{10 x^{2} + 40 x - 62}{{(2 x + 4)}^{2}}$

चरण 3.3.3

$10 x^{2} + 40 x - 62$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1

$10 x^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (5 x^{2}) + 40 x - 62}{{(2 x + 4)}^{2}}$

चरण 3.3.3.2

$40 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (5 x^{2}) + 2 (20 x) - 62}{{(2 x + 4)}^{2}}$

चरण 3.3.3.3

$- 62$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (5 x^{2}) + 2 (20 x) + 2 (- 31)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

चरण 3.3.3.4

$2 (5 x^{2}) + 2 (20 x)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x) + 2 (- 31)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

चरण 3.3.3.5

$2 (5 x^{2} + 20 x) + 2 (- 31)$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 31)}{{(2 x + 4)}^{2}}$

चरण 3.3.4

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.4.1

$2 x + 4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.4.1.1

$2 x$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 31)}{{(2 (x) + 4)}^{2}}$

चरण 3.3.4.1.2

$4$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 31)}{{(2 x + 2 \cdot 2)}^{2}}$

चरण 3.3.4.1.3

$2 x + 2 \cdot 2$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 31)}{{(2 (x + 2))}^{2}}$

चरण 3.3.4.2

उत्पाद नियम को $2 (x + 2)$ पर लागू करें.

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 31)}{2^{2} {(x + 2)}^{2}}$

चरण 3.3.4.3

$2$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 31)}{4 {(x + 2)}^{2}}$

चरण 3.3.5

उभयनिष्ठ गुणनखंडों को रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.5.1

$4 {(x + 2)}^{2}$ में से $2$ का गुणनखंड करें.

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 31)}{2 (2 {(x + 2)}^{2})}$

चरण 3.3.5.2

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{2 (5 x^{2} + 20 x - 31)}{2 (2 {(x + 2)}^{2})}$

चरण 3.3.5.3

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{5 x^{2} + 20 x - 31}{2 {(x + 2)}^{2}}$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = \frac{5 x^{2} + 20 x - 31}{2 {(x + 2)}^{2}}$

चरण 5

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x^{2} + 20 x - 31}{2 {(x + 2)}^{2}}$