कैलकुलस उदाहरण

$y = \ln (\sqrt{x})$

चरण 1

$\sqrt{x}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में फिर से लिखने के लिए $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ का उपयोग करें.

$y = \ln (x^{\frac{1}{2}})$

चरण 2

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{\frac{1}{2}}))$

चरण 3

$x$ के संबंध में $y$ का व्युत्पन्न $y'$ है.

$y'$

चरण 4

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 4.1.2

$u$ के संबंध में $\ln (u)$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u}$ है.

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 4.1.3

$u$ की सभी घटनाओं को $x^{\frac{1}{2}}$ से बदलें.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

चरण 4.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = \frac{1}{2}$ है.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

चरण 4.3

$- 1$ को एक सामान्य भाजक वाली भिन्न के रूप में लिखने के लिए, $\frac{2}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

चरण 4.4

$- 1$ और $\frac{2}{2}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 4.5

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

चरण 4.6

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.6.1

$- 1$ को $2$ से गुणा करें.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

चरण 4.6.2

$1$ में से $2$ घटाएं.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

चरण 4.7

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

चरण 4.8

$\frac{1}{2}$ और $x^{- \frac{1}{2}}$ को मिलाएं.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

चरण 4.9

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ को $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ से गुणा करें.

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

चरण 4.10

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.10.1

$2$ को $x^{\frac{1}{2}}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.10.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का उपयोग करके $x^{- \frac{1}{2}}$ को भाजक में ले जाएँ.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

चरण 4.11

भाजक को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.11.1

घातांक जोड़कर $x^{\frac{1}{2}}$ को $x^{\frac{1}{2}}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.11.1.1

$x^{\frac{1}{2}}$ ले जाएं.

$\frac{1}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}$

चरण 4.11.1.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

चरण 4.11.1.3

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1 + 1}{2}}}$

चरण 4.11.1.4

$1$ और $1$ जोड़ें.

$\frac{1}{2 x^{\frac{2}{2}}}$

चरण 4.11.1.5

$2$ को $2$ से विभाजित करें.

$\frac{1}{2 x^{1}}$

चरण 4.11.2

$2 x^{1}$ को सरल करें.

$\frac{1}{2 x}$

चरण 5

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$y' = \frac{1}{2 x}$

चरण 6

$y'$ को $\frac{d y}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 x}$