कैलकुलस उदाहरण

$z = \frac{x^{3} y - x y^{3}}{x^{2} + y^{2}}$

चरण 1

समीकरण के दोनों पक्षों का अवकलन करें.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{3} y - x y^{3}}{x^{2} + y^{2}})$

चरण 2

$x$ के संबंध में $z$ का व्युत्पन्न $z'$ है.

$z'$

चरण 3

समीकरण के दाएं पक्ष का अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = x^{3} y - x y^{3}$ और $g (x) = x^{2} + y^{2}$ है.

$\frac{(x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} y - x y^{3}] - (x^{3} y - x y^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.2

अवकलन करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{3} y - x y^{3}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]$ है.

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]) - (x^{3} y - x y^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.2.2

चूंकि $y$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $x^{3} y$ का व्युत्पन्न $y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ है.

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]) - (x^{3} y - x y^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 3$ है.

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]) - (x^{3} y - x y^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.2.4

$3$ को $y$ के बाईं ओर ले जाएं.

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 \cdot y x^{2} + \frac{d}{d x} [- x y^{3}]) - (x^{3} y - x y^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.2.5

चूंकि $- y^{3}$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x y^{3}$ का व्युत्पन्न $- y^{3} \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3} \frac{d}{d x} [x]) - (x^{3} y - x y^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.2.6

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3} \cdot 1) - (x^{3} y - x y^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.2.7

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3}) - (x^{3} y - x y^{3}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.2.8

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $x^{2} + y^{2}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ है.

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3}) - (x^{3} y - x y^{3}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.2.9

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3}) - (x^{3} y - x y^{3}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.2.10

चूंकि $x$ के संबंध में $y^{2}$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $y^{2}$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3}) - (x^{3} y - x y^{3}) (2 x + 0)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.2.11

व्यंजक को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.2.11.1

$2 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3}) - (x^{3} y - x y^{3}) (2 x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.2.11.2

$2$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3}) - 2 (x^{3} y - x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.3

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3}) + (- 2 (x^{3} y) - 2 (- x y^{3})) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.3

न्यूमेरेटर को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1.1

FOIL विधि का उपयोग करके $(x^{2} + y^{2}) (3 y x^{2} - y^{3})$ का प्रसार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1.1.1

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{2} (3 y x^{2} - y^{3}) + y^{2} (3 y x^{2} - y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.3.1.1.2

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{2} (3 y x^{2}) + x^{2} (- y^{3}) + y^{2} (3 y x^{2} - y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.3.1.1.3

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{x^{2} (3 y x^{2}) + x^{2} (- y^{3}) + y^{2} (3 y x^{2}) + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.3.1.2

समान पदों को सरल और संयोजित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1.2.1.1

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{3 x^{2} (y x^{2}) + x^{2} (- y^{3}) + y^{2} (3 y x^{2}) + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.3.1.2.1.2

घातांक जोड़कर $x^{2}$ को $x^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1.2.1.2.1

$x^{2}$ ले जाएं.

$\frac{3 (x^{2} x^{2}) y + x^{2} (- y^{3}) + y^{2} (3 y x^{2}) + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.3.1.2.1.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{3 x^{2 + 2} y + x^{2} (- y^{3}) + y^{2} (3 y x^{2}) + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.3.1.2.1.2.3

$2$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{3 x^{4} y + x^{2} (- y^{3}) + y^{2} (3 y x^{2}) + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.3.1.2.1.3

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + y^{2} (3 y x^{2}) + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.3.1.2.1.4

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 y^{2} (y x^{2}) + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.3.1.2.1.5

घातांक जोड़कर $y^{2}$ को $y$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1.2.1.5.1

$y$ ले जाएं.

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 (y \cdot y^{2}) x^{2} + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.3.1.2.1.5.2

$y$ को $y^{2}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1.2.1.5.2.1

$y$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 (y^{1} y^{2}) x^{2} + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.3.1.2.1.5.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 y^{1 + 2} x^{2} + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.3.1.2.1.5.3

$1$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 y^{3} x^{2} + y^{2} (- y^{3}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.3.1.2.1.6

गुणन के क्रमविनिमेय गुण का उपयोग करके फिर से लिखें.

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 y^{3} x^{2} - y^{2} y^{3} - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.3.1.2.1.7

घातांक जोड़कर $y^{2}$ को $y^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1.2.1.7.1

$y^{3}$ ले जाएं.

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 y^{3} x^{2} - (y^{3} y^{2}) - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.3.1.2.1.7.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 y^{3} x^{2} - y^{3 + 2} - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.3.1.2.1.7.3

$3$ और $2$ जोड़ें.

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 y^{3} x^{2} - y^{5} - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.3.1.2.2

$- x^{2} y^{3}$ और $3 y^{3} x^{2}$ जोड़ें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1.2.2.1

$y^{3}$ ले जाएं.

$\frac{3 x^{4} y - x^{2} y^{3} + 3 x^{2} y^{3} - y^{5} - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.3.1.2.2.2

$- x^{2} y^{3}$ और $3 x^{2} y^{3}$ जोड़ें.

$\frac{3 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3} - y^{5} - 2 (x^{3} y) x - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.3.1.3

घातांक जोड़कर $x^{3}$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1.3.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{3 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3} - y^{5} - 2 (x \cdot x^{3} y) - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.3.1.3.2

$x$ को $x^{3}$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1.3.2.1

$x$ को $1$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{3 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3} - y^{5} - 2 (x^{1} x^{3} y) - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.3.1.3.2.2

घातांकों को संयोजित करने के लिए घात नियम $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ का उपयोग करें.

$\frac{3 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3} - y^{5} - 2 (x^{1 + 3} y) - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.3.1.3.3

$1$ और $3$ जोड़ें.

$\frac{3 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3} - y^{5} - 2 (x^{4} y) - 2 (- x y^{3}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.3.1.4

घातांक जोड़कर $x$ को $x$ से गुणा करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.3.1.4.1

$x$ ले जाएं.

$\frac{3 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3} - y^{5} - 2 x^{4} y - 2 (- (x \cdot x) y^{3})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.3.1.4.2

$x$ को $x$ से गुणा करें.

$\frac{3 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3} - y^{5} - 2 x^{4} y - 2 (- x^{2} y^{3})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.3.1.5

$- 1$ को $- 2$ से गुणा करें.

$\frac{3 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3} - y^{5} - 2 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.3.2

$3 x^{4} y$ में से $2 x^{4} y$ घटाएं.

$\frac{2 x^{2} y^{3} - y^{5} + 1 x^{4} y + 2 x^{2} y^{3}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.3.3

$x^{4}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{2 x^{2} y^{3} - y^{5} + x^{4} y + 2 x^{2} y^{3}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.3.4

$2 x^{2} y^{3}$ और $2 x^{2} y^{3}$ जोड़ें.

$\frac{- y^{5} + x^{4} y + 4 x^{2} y^{3}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.4

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{- y^{5} + x^{4} y + 4 y^{3} x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.5

$- y^{5} + x^{4} y + 4 y^{3} x^{2}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.3.5.1

$- y^{5}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y (- y^{4}) + x^{4} y + 4 y^{3} x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.5.2

$x^{4} y$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y (- y^{4}) + y x^{4} + 4 y^{3} x^{2}}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.5.3

$4 y^{3} x^{2}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y (- y^{4}) + y x^{4} + y (4 y^{2} x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.5.4

$y (- y^{4}) + y x^{4}$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y (- y^{4} + x^{4}) + y (4 y^{2} x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.5.5

$y (- y^{4} + x^{4}) + y (4 y^{2} x^{2})$ में से $y$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y (- y^{4} + x^{4} + 4 y^{2} x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.6

$- y^{4}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y (- (y^{4}) + x^{4} + 4 y^{2} x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.7

$x^{4}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y (- (y^{4}) - 1 (- x^{4}) + 4 y^{2} x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.8

$- (y^{4}) - 1 (- x^{4})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y (- (y^{4} - x^{4}) + 4 y^{2} x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.9

$4 y^{2} x^{2}$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y (- (y^{4} - x^{4}) - (- 4 y^{2} x^{2}))}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.10

$- (y^{4} - x^{4}) - (- 4 y^{2} x^{2})$ में से $- 1$ का गुणनखंड करें.

$\frac{y (- (y^{4} - x^{4} - 4 y^{2} x^{2}))}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.11

$- (y^{4} - x^{4} - 4 y^{2} x^{2})$ को $- 1 (y^{4} - x^{4} - 4 y^{2} x^{2})$ के रूप में फिर से लिखें.

$\frac{y (- 1 (y^{4} - x^{4} - 4 y^{2} x^{2}))}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 3.3.12

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$- \frac{y (y^{4} - x^{4} - 4 y^{2} x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 4

बाईं ओर को दाईं ओर के बराबर सेट करके समीकरण को सुधारें.

$z' = - \frac{y (y^{4} - x^{4} - 4 y^{2} x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

चरण 5

$z'$ को $\frac{d z}{d x}$ से बदलें.

$\frac{d z}{d x} = - \frac{y (y^{4} - x^{4} - 4 y^{2} x^{2})}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$