कैलकुलस उदाहरण

$y = \frac{\sin (3 x^{2})}{\log (\cos (3 x))}$

चरण 1

भागफल नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ है, जहाँ $f (x) = \sin (3 x^{2})$ और $g (x) = \log (\cos (3 x))$ है.

$\frac{\log (\cos (3 x)) \frac{d}{d x} [\sin (3 x^{2})] - \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [\log (\cos (3 x))]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

चरण 2

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \sin (x)$ और $g (x) = 3 x^{2}$ है.

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चरण 2.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $3 x^{2}$ के रूप में सेट करें.

$\frac{\log (\cos (3 x)) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) - \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [\log (\cos (3 x))]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

चरण 2.2

$u_{1}$ के संबंध में $\sin (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\cos (u_{1})$ है.

$\frac{\log (\cos (3 x)) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) - \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [\log (\cos (3 x))]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

चरण 2.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $3 x^{2}$ से बदलें.

$\frac{\log (\cos (3 x)) (\cos (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) - \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [\log (\cos (3 x))]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

चरण 3

अवकलन करें.

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चरण 3.1

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x^{2}$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (3 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [\log (\cos (3 x))]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

चरण 3.2

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (3 (2 x)) - \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [\log (\cos (3 x))]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

चरण 3.3

$2$ को $3$ से गुणा करें.

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) - \sin (3 x^{2}) \frac{d}{d x} [\log (\cos (3 x))]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

चरण 4

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \log (x)$ और $g (x) = \cos (3 x)$ है.

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चरण 4.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $\cos (3 x)$ के रूप में सेट करें.

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) - \sin (3 x^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\log (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

चरण 4.2

$u_{2}$ के संबंध में $\log (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{2} \ln (10)}$ है.

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) - \sin (3 x^{2}) (\frac{1}{u_{2} \ln (10)} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

चरण 4.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $\cos (3 x)$ से बदलें.

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) - \sin (3 x^{2}) (\frac{1}{\cos (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)])}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

चरण 5

$\frac{1}{\cos (3 x) \ln (10)}$ और $\sin (3 x^{2})$ को मिलाएं.

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) - \frac{\sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

चरण 6

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \cos (x)$ और $g (x) = 3 x$ है.

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चरण 6.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{3}$ को $3 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) - \frac{\sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)} (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [3 x])}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

चरण 6.2

$u_{3}$ के संबंध में $\cos (u_{3})$ का व्युत्पन्न $- \sin (u_{3})$ है.

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) - \frac{\sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)} (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [3 x])}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

चरण 6.3

$u_{3}$ की सभी घटनाओं को $3 x$ से बदलें.

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) - \frac{\sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)} (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

चरण 7

अवकलन करें.

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चरण 7.1

$- 1$ को $- 1$ से गुणा करें.

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + 1 \frac{\sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)} (\sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

चरण 7.2

न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

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चरण 7.2.1

$\frac{\sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + \frac{\sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)} (\sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

चरण 7.2.2

$\sin (3 x)$ और $\frac{\sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)}$ को मिलाएं.

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + \frac{\sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [3 x]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

चरण 7.3

चूंकि $3$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $3 x$ का व्युत्पन्न $3 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + \frac{\sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)} (3 \frac{d}{d x} [x])}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

चरण 7.4

$3$ और $\frac{\sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)}$ को मिलाएं.

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + \frac{3 (\sin (3 x) \sin (3 x^{2}))}{\cos (3 x) \ln (10)} \frac{d}{d x} [x]}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

चरण 7.5

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + \frac{3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)} \cdot 1}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

चरण 7.6

$\frac{3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)}$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + \frac{3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)}}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

चरण 8

$\frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + \frac{3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)}}{\log^{2} (\cos (3 x))}$ को $\frac{\cos (3 x) \ln (10)}{\cos (3 x) \ln (10)}$ से गुणा करें.

$\frac{\cos (3 x) \ln (10)}{\cos (3 x) \ln (10)} \cdot \frac{\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + \frac{3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)}}{\log^{2} (\cos (3 x))}$

चरण 9

जोड़ना.

$\frac{\cos (3 x) \ln (10) (\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x) + \frac{3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)})}{\cos (3 x) \ln (10) \log^{2} (\cos (3 x))}$

चरण 10

वितरण गुणधर्म लागू करें.

$\frac{\cos (3 x) \ln (10) (\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x)) + \cos (3 x) \ln (10) \frac{3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)}}{\cos (3 x) \ln (10) \log^{2} (\cos (3 x))}$

चरण 11

$\cos (3 x) \ln (10)$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

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चरण 11.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{\cos (3 x) \ln (10) (\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x)) + \cos (3 x) \ln (10) \frac{3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10)}}{\cos (3 x) \ln (10) \log^{2} (\cos (3 x))}$

चरण 11.2

व्यंजक को फिर से लिखें.

$\frac{\cos (3 x) \ln (10) (\log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) (6 x)) + 3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10) \log^{2} (\cos (3 x))}$

चरण 12

सरल करें.

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चरण 12.1

न्यूमेरेटर को सरल करें.

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चरण 12.1.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

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चरण 12.1.1.1

$6$ को लघुगणक के अंदर ले जाकर $6 \ln (10)$ को सरल करें.

$\frac{\cos (3 x) \ln (10^{6}) \log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) x + 3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10) \log^{2} (\cos (3 x))}$

चरण 12.1.1.2

$10$ को $6$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{\cos (3 x) \ln (1000000) \log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) x + 3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10) \log^{2} (\cos (3 x))}$

चरण 12.1.2

गुणनखंडों को $\cos (3 x) \ln (1000000) \log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) x + 3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})$ में पुन: क्रमित करें.

$\frac{x \cos (3 x) \ln (1000000) \log (\cos (3 x)) \cos (3 x^{2}) + 3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\cos (3 x) \ln (10) \log^{2} (\cos (3 x))}$

चरण 12.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{x \cos (3 x) \cos (3 x^{2}) \ln (1000000) \log (\cos (3 x)) + 3 \sin (3 x) \sin (3 x^{2})}{\log^{2} (\cos (3 x)) \cos (3 x) \ln (10)}$