कैलकुलस उदाहरण

$y = \arctan (4 x) + \ln (16 x^{2} + 1)$

चरण 1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $\arctan (4 x) + \ln (16 x^{2} + 1)$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [\arctan (4 x)] + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$ है.

$\frac{d}{d x} [\arctan (4 x)] + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

चरण 2

$\frac{d}{d x} [\arctan (4 x)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \arctan (x)$ और $g (x) = 4 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $4 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

चरण 2.1.2

$u_{1}$ के संबंध में $\arctan (u_{1})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ है.

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

चरण 2.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $4 x$ से बदलें.

$\frac{1}{1 + {(4 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

चरण 2.2

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$\frac{1}{1 + {(4 x)}^{2}} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

चरण 2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$\frac{1}{1 + {(4 x)}^{2}} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

चरण 2.4

$4 x$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{1}{1 + {(4 (x))}^{2}} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

चरण 2.5

उत्पाद नियम को $4 (x)$ पर लागू करें.

$\frac{1}{1 + 4^{2} x^{2}} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

चरण 2.6

$4$ को $2$ के घात तक बढ़ाएं.

$\frac{1}{1 + 16 x^{2}} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

चरण 2.7

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$\frac{1}{1 + 16 x^{2}} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

चरण 2.8

$\frac{1}{1 + 16 x^{2}}$ और $4$ को मिलाएं.

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$

चरण 3

$\frac{d}{d x} [\ln (16 x^{2} + 1)]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = \ln (x)$ और $g (x) = 16 x^{2} + 1$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $16 x^{2} + 1$ के रूप में सेट करें.

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 1]$

चरण 3.1.2

$u_{2}$ के संबंध में $\ln (u_{2})$ का व्युत्पन्न $\frac{1}{u_{2}}$ है.

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 1]$

चरण 3.1.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $16 x^{2} + 1$ से बदलें.

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{16 x^{2} + 1} \frac{d}{d x} [16 x^{2} + 1]$

चरण 3.2

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $16 x^{2} + 1$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ है.

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{16 x^{2} + 1} (\frac{d}{d x} [16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 3.3

चूंकि $16$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $16 x^{2}$ का व्युत्पन्न $16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ है.

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{16 x^{2} + 1} (16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 3.4

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 2$ है.

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{16 x^{2} + 1} (16 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

चरण 3.5

चूंकि $x$ के संबंध में $1$ स्थिर है, $x$ के संबंध में $1$ का व्युत्पन्न $0$ है.

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{16 x^{2} + 1} (16 (2 x) + 0)$

चरण 3.6

$2$ को $16$ से गुणा करें.

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{16 x^{2} + 1} (32 x + 0)$

चरण 3.7

$32 x$ और $0$ जोड़ें.

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{1}{16 x^{2} + 1} (32 x)$

चरण 3.8

$32$ और $\frac{1}{16 x^{2} + 1}$ को मिलाएं.

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{32}{16 x^{2} + 1} x$

चरण 3.9

$\frac{32}{16 x^{2} + 1}$ और $x$ को मिलाएं.

$\frac{4}{1 + 16 x^{2}} + \frac{32 x}{16 x^{2} + 1}$

चरण 4

सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1

पदों को मिलाएं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.1.1

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{4}{16 x^{2} + 1} + \frac{32 x}{16 x^{2} + 1}$

चरण 4.1.2

सामान्य भाजक पर न्यूमेरेटरों को जोड़ें.

$\frac{4 + 32 x}{16 x^{2} + 1}$

चरण 4.2

पदों को पुन: व्यवस्थित करें

$\frac{32 x + 4}{16 x^{2} + 1}$

चरण 4.3

$32 x + 4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 4.3.1

$32 x$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (8 x) + 4}{16 x^{2} + 1}$

चरण 4.3.2

$4$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (8 x) + 4 (1)}{16 x^{2} + 1}$

चरण 4.3.3

$4 (8 x) + 4 (1)$ में से $4$ का गुणनखंड करें.

$\frac{4 (8 x + 1)}{16 x^{2} + 1}$