कैलकुलस उदाहरण

$e^{4 x} + e^{- x}$

चरण 1

$e^{4 x} + e^{- x}$ को एक फलन के रूप में लिखें.

$f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$

चरण 2

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1

पहला व्युत्पन्न पता करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.1

योग नियम के अनुसार, $x$ के संबंध में $e^{4 x} + e^{- x}$ का व्युत्पन्न $\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ है.

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.1.2

$\frac{d}{d x} [e^{4 x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = 4 x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.2.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{1}$ को $4 x$ के रूप में सेट करें.

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.1.2.1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ $a^{u_{1}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.1.2.1.3

$u_{1}$ की सभी घटनाओं को $4 x$ से बदलें.

$e^{4 x} \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.1.2.2

चूंकि $4$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $4 x$ का व्युत्पन्न $4 \frac{d}{d x} [x]$ है.

$e^{4 x} (4 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.1.2.3

घात नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ $n x^{n - 1}$ है, जहाँ $n = 1$ है.

$e^{4 x} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.1.2.4

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$e^{4 x} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.1.2.5

$4$ को $e^{4 x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$

चरण 2.1.3

$\frac{d}{d x} [e^{- x}]$ का मान ज्ञात करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1

चेन रूल का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ $f' (g (x)) g' (x)$ है, जहाँ $f (x) = e^{x}$ और $g (x) = - x$ है.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 2.1.3.1.1

चेन रूल लागू करने के लिए, $u_{2}$ को $- x$ के रूप में सेट करें.

$4 e^{4 x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]$

चरण 2.1.3.1.2

चरघातांकी नियम का उपयोग करके अवकलन करें, जिसमें यह वर्णन हो कि $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ $a^{u_{2}} \ln (a)$ है, जहाँ $a$ = $e$ है.

$4 e^{4 x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]$

चरण 2.1.3.1.3

$u_{2}$ की सभी घटनाओं को $- x$ से बदलें.

$4 e^{4 x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]$

चरण 2.1.3.2

चूंकि $- 1$ , $x$ के संबंध में स्थिर है, $x$ के संबंध में $- x$ का व्युत्पन्न $- \frac{d}{d x} [x]$ है.

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])$

चरण 2.1.3.3

$4 e^{4 x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1)$

चरण 2.1.3.4

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$4 e^{4 x} + e^{- x} \cdot - 1$

चरण 2.1.3.5

$- 1$ को $e^{- x}$ के बाईं ओर ले जाएं.

$4 e^{4 x} - 1 \cdot e^{- x}$

चरण 2.1.3.6

$- 1 e^{- x}$ को $- e^{- x}$ के रूप में फिर से लिखें.

$f' (x) = 4 e^{4 x} - e^{- x}$

चरण 2.2

$f (x)$ का पहला व्युत्पन्न बटे $x$ , $4 e^{4 x} - e^{- x}$ है.

$4 e^{4 x} - e^{- x}$

चरण 3

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें, फिर समीकरण $4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$ को हल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.1

पहले व्युत्पन्न को $0$ के बराबर सेट करें.

$4 e^{4 x} - e^{- x} = 0$

चरण 3.2

$- e^{- x}$ को दोनों पक्षों में जोड़कर समीकरण के दाईं ओर ले जाएँ.

$4 e^{4 x} = e^{- x}$

चरण 3.3

घातांक से चर को हटाने के लिए समीकरण के दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लें.

$\ln (4 e^{4 x}) = \ln (e^{- x})$

चरण 3.4

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.4.1

$\ln (4 e^{4 x})$ को $\ln (4) + \ln (e^{4 x})$ के रूप में फिर से लिखें.

$\ln (4) + \ln (e^{4 x}) = \ln (e^{- x})$

चरण 3.4.2

$4 x$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{4 x})$ का प्रसार करें.

$\ln (4) + 4 x \ln (e) = \ln (e^{- x})$

चरण 3.4.3

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$\ln (4) + 4 x \cdot 1 = \ln (e^{- x})$

चरण 3.4.4

$4$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (4) + 4 x = \ln (e^{- x})$

चरण 3.5

दाएं पक्ष का विस्तार करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.5.1

$- x$ को लघुगणक के बाहर ले जाकर $\ln (e^{- x})$ का प्रसार करें.

$\ln (4) + 4 x = - x \ln (e)$

चरण 3.5.2

$e$ का प्राकृतिक लघुगणक $1$ है.

$\ln (4) + 4 x = - x \cdot 1$

चरण 3.5.3

$- 1$ को $1$ से गुणा करें.

$\ln (4) + 4 x = - x$

चरण 3.6

$x$ वाले सभी पदों को समीकरण के बाईं ओर ले जाएँ.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.6.1

समीकरण के दोनों पक्षों में $x$ जोड़ें.

$\ln (4) + 4 x + x = 0$

चरण 3.6.2

$4 x$ और $x$ जोड़ें.

$\ln (4) + 5 x = 0$

चरण 3.7

समीकरण के दोनों पक्षों से $\ln (4)$ घटाएं.

$5 x = - \ln (4)$

चरण 3.8

$5 x = - \ln (4)$ के प्रत्येक पद को $5$ से भाग दें और सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.1

$5 x = - \ln (4)$ के प्रत्येक पद को $5$ से विभाजित करें.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \ln (4)}{5}$

चरण 3.8.2

बाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.2.1

$5$ का उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.2.1.1

उभयनिष्ठ गुणनखंड रद्द करें.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- \ln (4)}{5}$

चरण 3.8.2.1.2

$x$ को $1$ से विभाजित करें.

$x = \frac{- \ln (4)}{5}$

चरण 3.8.3

दाईं ओर को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 3.8.3.1

भिन्न के सामने ऋणात्मक ले जाएँ.

$x = - \frac{\ln (4)}{5}$

चरण 4

वे मान जो व्युत्पन्न को $0$ के बराबर बनाते हैं, वे $- \frac{\ln (4)}{5}$ हैं.

$- \frac{\ln (4)}{5}$

चरण 5

उस बिंदु को खोजने के बाद जो व्युत्पन्न $f' (x) = 4 e^{4 x} - e^{- x}$ को $0$ के बराबर या अपरिभाषित बनाता है, यह जांचने के लिए अंतराल $f (x) = e^{4 x} + e^{- x}$ कहां बढ़ रहा है और कहां घट रहा है $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5}) \cup (- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ है.

$(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5}) \cup (- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$

चरण 6

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.1

व्यंजक में चर $x$ को $- 1.27725887$ से बदलें.

$f' (- 1.27725887) = 4 e^{4 (- 1.27725887)} - e^{- (- 1.27725887)}$

चरण 6.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 6.2.1.1

$4$ को $- 1.27725887$ से गुणा करें.

$f' (- 1.27725887) = 4 e^{- 5.10903548} - e^{- (- 1.27725887)}$

चरण 6.2.1.2

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (- 1.27725887) = 4 (\frac{1}{e^{5.10903548}}) - e^{- (- 1.27725887)}$

चरण 6.2.1.3

$4$ और $\frac{1}{e^{5.10903548}}$ को मिलाएं.

$f' (- 1.27725887) = \frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{- (- 1.27725887)}$

चरण 6.2.1.4

$- 1$ को $- 1.27725887$ से गुणा करें.

$f' (- 1.27725887) = \frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{1.27725887}$

चरण 6.2.2

अंतिम उत्तर $\frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{1.27725887}$ है.

$\frac{4}{e^{5.10903548}} - e^{1.27725887}$

चरण 6.3

सरल करें.

$- 3.56262674$

चरण 6.4

$x = - 1.27725887$ पर व्युत्पन्न $- 3.56262674$ है. चूंकि यह ऋणात्मक है, $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$ पर फलन कम हो रहा है.

$f' (x) < 0$ से $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$ पर घटता हुआ

चरण 7

यह निर्धारित करने के लिए कि फलन बढ़ रहा है या घट रहा है, अंतराल $(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ से एक मान को व्युत्पन्न में प्रतिस्थापित करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.1

व्यंजक में चर $x$ को $0.72274112$ से बदलें.

$f' (0.72274112) = 4 e^{4 (0.72274112)} - e^{- (0.72274112)}$

चरण 7.2

परिणाम को सरल बनाएंं.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1

प्रत्येक पद को सरल करें.

और स्टेप्स के लिए टैप करें…

चरण 7.2.1.1

$4$ को $0.72274112$ से गुणा करें.

$f' (0.72274112) = 4 e^{2.89096451} - e^{- (0.72274112)}$

चरण 7.2.1.2

$- 1$ को $0.72274112$ से गुणा करें.

$f' (0.72274112) = 4 e^{2.89096451} - e^{- 0.72274112}$

चरण 7.2.1.3

ऋणात्मक घातांक नियम $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ का प्रयोग करके व्यंजक को फिर से लिखें.

$f' (0.72274112) = 4 e^{2.89096451} - \frac{1}{e^{0.72274112}}$

चरण 7.2.2

अंतिम उत्तर $4 e^{2.89096451} - \frac{1}{e^{0.72274112}}$ है.

$4 e^{2.89096451} - \frac{1}{e^{0.72274112}}$

चरण 7.3

सरल करें.

$71.55727104$

चरण 7.4

$x = 0.72274112$ पर व्युत्पन्न $71.55727104$ है. चूंकि यह सकारात्मक है, $(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ पर फलन बढ़ रहा है.

$f' (x) > 0$ के बाद से $(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$ पर बढ़ रहा है

चरण 8

उन अंतरालों की सूची बनाइए जिन पर फलन बढ़ रहा है और घट रहा है.

बढ़ रहा है: $(- \frac{\ln (4)}{5}, \infty)$

इस पर घटता हुआ: $(- \infty, - \frac{\ln (4)}{5})$

चरण 9